Nierówność [Pros]

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 750
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 237 razy

Nierówność [Pros]

Post autor: Elayne » 13 paź 2019, o 12:55

Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b + c = 3.}\) Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \dfrac{a+b}{b+c} + \dfrac{b+c}{c+a} + \dfrac{c+a}{a+b} \ge \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 + 9}{4}}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1453
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 375 razy

Re: Nierówność [Pros]

Post autor: bosa_Nike » 14 paź 2019, o 01:58

Możemy zacząć biorąc `a+b=x,\ b+c=y,\ c+a=z`. Wtedy mamy `a^2+b^2+c^2+9=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=x^2+y^2+z^2` oraz `x+y+z=6`, czyli $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}$$ Po ujednorodnieniu $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{9\left(x^2+y^2+z^2\right)}{(x+y+z)^2}$$
W tej chwili potrafię udowodnić tę ostatną nierówność dwoma sposobami, ale oba rozwiązania są dość długie i dość brzydkie. Jeżeli powyższe nie zainspiruje kogoś do wymyślenia jakiegoś ładnego dowodu, to w wolnej chwili ewentualnie napiszę swój.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1516
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 422 razy

Re: Nierówność [Pros]

Post autor: timon92 » 15 paź 2019, o 00:19

załóżmy, że \(\displaystyle{ z=\min(x,y,z)}\) i zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ (x+y+z)^2\ge6xy}\), to

$$\frac xy + \frac yz + \frac zx = 3 + \frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{xz} \ge 3 + \frac{6}{(x+y+z)^2} \cdot ((x-y)^2+(x-z)(y-z)) = \frac{9(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}$$

pozostaje przypadek, w którym \(\displaystyle{ (x+y+z)^2<6xy}\)

wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ \frac xy+\frac yz+\frac zx + \frac{18(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2} \ge 9}\)

na mocy założenia \(\displaystyle{ (x+y+z)^2<6xy}\) szacujemy lewą stronę z dołu przez

$$\frac xy+\frac yz+\frac zx + \frac{18(xy+yz+zx)}{6xy} = \frac xy+\frac yz+\frac zx + 3 + \frac{3z}{x}+\frac{3z}{y} = 3+\frac{4z}{x}+\frac yz + \frac{x+3z}{y}$$

AM-GM daje \(\displaystyle{ \frac yz + \frac{x+3z}{y} \ge 2\sqrt{\frac{x+3z}{z}} = 2\sqrt{3+\frac xz}}\)

wystarczy więc dowieść, że \(\displaystyle{ 3+\frac 4t+2\sqrt{3+t} \ge 9}\), gdzie \(\displaystyle{ t=\frac xz\ge 1}\)

okazuje się, że istotnie jest to prawda (i to nawet dla dowolnego \(\displaystyle{ t>0}\))

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1453
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 375 razy

Re: Nierówność [Pros]

Post autor: bosa_Nike » 15 paź 2019, o 06:33

Noice.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ