Dzień dobry,
chciałbym poprosić o pomoc w udowodnieniu prostej nierówności.
Ma ona postać:
\(\displaystyle{ \sqrt{24} +\sqrt{27} < \sqrt{25} + \sqrt{26} }\)
Próbowałem to poprzekształcać na różne sposoby, ale nijak nie dochodziłem do konkluzji.
Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki w którą stronę powinienem"pójść" w tym zadaniu.
Dziękuję.
Pomoc w udowodnieniu nierówności.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.
Zauważ, że obie strony nierówności są dodatnie, więc podniesienie obu stron do kwadratu jest przekształceniem równoważnym.
JK
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.
Po podniesieniu stronami do kwadratu mamy:
\(\displaystyle{ 24+2 \sqrt{24 \cdot 27}+27<25+2 \sqrt{25 \cdot 26}+26 }\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{24 \cdot 27}<\sqrt{25 \cdot 26}}\)
co po jeszcze jednym podniesieniu do kwadratu daje:
\(\displaystyle{ 648=24 \cdot 27<25 \cdot 26=650}\)
\(\displaystyle{ 24+2 \sqrt{24 \cdot 27}+27<25+2 \sqrt{25 \cdot 26}+26 }\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{24 \cdot 27}<\sqrt{25 \cdot 26}}\)
co po jeszcze jednym podniesieniu do kwadratu daje:
\(\displaystyle{ 648=24 \cdot 27<25 \cdot 26=650}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) jest funkcją wklęsłą (zatem \(\displaystyle{ -\sqrt{x}}\) – wypukłą), zaś ciąg \(\displaystyle{ (27,24)}\) majoryzuje \(\displaystyle{ (26, 25)}\), więc na mocy nierówności Karamaty otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(27)+f(24)\le f(26)+f(25)}\), czyli tezę zadania.![:mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
To oczywiście żart, w praktyce nikt tak nie dowodzi na tyle prostych nierówności. Ale można też inaczej: z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową mamy co następuje:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{24}+\sqrt{24}+\sqrt{27}}{3}< \sqrt{\frac{24+24+27}{3}}=\sqrt{25}\\\frac{\sqrt{24}+\sqrt{27}+\sqrt{27}}{3}< \sqrt{\frac{24+27+27}{3}}=\sqrt{26}}\)
(równość nie zachodzi, ponieważ zmienne nie są równe).
Dodajemy stronami te nierówności, c.k.d.
\(\displaystyle{ f(27)+f(24)\le f(26)+f(25)}\), czyli tezę zadania.
![:mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
To oczywiście żart, w praktyce nikt tak nie dowodzi na tyle prostych nierówności. Ale można też inaczej: z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową mamy co następuje:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{24}+\sqrt{24}+\sqrt{27}}{3}< \sqrt{\frac{24+24+27}{3}}=\sqrt{25}\\\frac{\sqrt{24}+\sqrt{27}+\sqrt{27}}{3}< \sqrt{\frac{24+27+27}{3}}=\sqrt{26}}\)
(równość nie zachodzi, ponieważ zmienne nie są równe).
Dodajemy stronami te nierówności, c.k.d.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.
Premislav tylko trochę przegiął, a ja nie mogę się oprzeć rozwiązaniu tego zadania moją ulubioną metodą.
Pierwiastek jest funkcją ściśle wklęsłą, więc jej iloczyn różnicowy ściśle maleje względem obu zmiennych. Zatem
$$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{26}}{27-26}< \frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{25-24}$$
i już
Pierwiastek jest funkcją ściśle wklęsłą, więc jej iloczyn różnicowy ściśle maleje względem obu zmiennych. Zatem
$$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{26}}{27-26}< \frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{25-24}$$
i już