Pomoc w udowodnieniu nierówności.

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
kubakx1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 wrz 2019, o 17:01
Płeć: Mężczyzna

Pomoc w udowodnieniu nierówności.

Post autor: kubakx1 » 11 paź 2019, o 12:00

Dzień dobry,
chciałbym poprosić o pomoc w udowodnieniu prostej nierówności.
Ma ona postać:
\(\displaystyle{ \sqrt{24} +\sqrt{27} < \sqrt{25} + \sqrt{26} }\)

Próbowałem to poprzekształcać na różne sposoby, ale nijak nie dochodziłem do konkluzji.
Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki w którą stronę powinienem"pójść" w tym zadaniu.
Dziękuję.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25561
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4264 razy

Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.

Post autor: Jan Kraszewski » 11 paź 2019, o 12:05

Zauważ, że obie strony nierówności są dodatnie, więc podniesienie obu stron do kwadratu jest przekształceniem równoważnym.

JK

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2352
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 717 razy

Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.

Post autor: Janusz Tracz » 11 paź 2019, o 12:05

Po podniesieniu stronami do kwadratu mamy:

\(\displaystyle{ 24+2 \sqrt{24 \cdot 27}+27<25+2 \sqrt{25 \cdot 26}+26 }\)

czyli

\(\displaystyle{ \sqrt{24 \cdot 27}<\sqrt{25 \cdot 26}}\)

co po jeszcze jednym podniesieniu do kwadratu daje:

\(\displaystyle{ 648=24 \cdot 27<25 \cdot 26=650}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14364
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 4723 razy

Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.

Post autor: Premislav » 11 paź 2019, o 12:30

\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) jest funkcją wklęsłą (zatem \(\displaystyle{ -\sqrt{x}}\) – wypukłą), zaś ciąg \(\displaystyle{ (27,24)}\) majoryzuje \(\displaystyle{ (26, 25)}\), więc na mocy nierówności Karamaty otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(27)+f(24)\le f(26)+f(25)}\), czyli tezę zadania. :mrgreen:

Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
To oczywiście żart, w praktyce nikt tak nie dowodzi na tyle prostych nierówności. Ale można też inaczej: z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową mamy co następuje:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{24}+\sqrt{24}+\sqrt{27}}{3}< \sqrt{\frac{24+24+27}{3}}=\sqrt{25}\\\frac{\sqrt{24}+\sqrt{27}+\sqrt{27}}{3}< \sqrt{\frac{24+27+27}{3}}=\sqrt{26}}\)
(równość nie zachodzi, ponieważ zmienne nie są równe).
Dodajemy stronami te nierówności, c.k.d.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17145
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2882 razy

Re: Pomoc w udowodnieniu nierówności.

Post autor: a4karo » 11 paź 2019, o 16:11

Premislav tylko trochę przegiął, a ja nie mogę się oprzeć rozwiązaniu tego zadania moją ulubioną metodą.

Pierwiastek jest funkcją ściśle wklęsłą, więc jej iloczyn różnicowy ściśle maleje względem obu zmiennych. Zatem
$$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{26}}{27-26}< \frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{25-24}$$
i już

ODPOWIEDZ