Udowodnić (ułamek okresowy)

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 10 razy

Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Bran » 8 wrz 2019, o 10:23

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 10 \cdot 0,(9) - 9 = 0,(9)}\).

Jedna uwaga taka, żeby nie korzystać z tego, że \(\displaystyle{ 0,(9) = 1}\), bo to ma być dopiero dowiedzione.

Nie mam pomysłu jak można to zrobić.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25600
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4269 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Jan Kraszewski » 8 wrz 2019, o 10:27

To zależy od znaczenia słowa "udowodnić". Czy chodzi o rachunek typu

$$10\cdot 0,(9)-9=9,(9)-9=0,(9),$$

czy jednak o posłużenie się szeregami, korzystając z

$$0,(9)=\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}.$$

JK

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 10 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Bran » 8 wrz 2019, o 11:36

Bardzo mi się podoba to pytanie, jestem pod (jego) wrażeniem. :)

Właściwie to chodzi mi o wykazanie tego faktu:

Oznaczmy \(\displaystyle{ 0,(9)}\) jako \(\displaystyle{ x}\)
Wówczas \(\displaystyle{ 10x = 9,(9) = 9 + x}\).

Druga równość jest dla mnie jasna, natomiast co do pierwszej chciałbym się upewnić, że faktycznie tak jest. Czyli tak naprawdę o wykazanie równości \(\displaystyle{ 10 \cdot 0,(9) = 9,(9)}\) czyli pierwszy rachunek jako dowód jest dla mnie niesatysfakcjonujący, bo przedstawia jako oczywiste coś o co pytam.

Bardzo ciekawy jest ten szereg.
$$0,(9) = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = 9 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n} = 9 \cdot \frac{1}{10}\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 9 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$$
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. To już kupuję! Jednak nadal jest dla mnie nieintuicyjnym dlaczego ten okres tak działa.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25600
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4269 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Jan Kraszewski » 8 wrz 2019, o 12:12

Pierwszy sposób korzysta ze szkolnej zasady, że mnożenie przez \(\displaystyle{ 10}\) liczby w zapisie dziesiętnym to przesuwanie przecinka o jedną pozycję w prawo. W szkole tej zasady nie dowodzisz, tylko korzystasz z niej.

Natomiast drugi sposób to tak naprawdę dowód tej zasady. Masz
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\color{\red}{\sum_{n=1}^\infty \frac{a_2}{10^{n-1}}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego.

JK

Edit: pomyłka w czerwonym fragmencie. Powinno być
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2368
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 66 razy
Pomógł: 721 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Janusz Tracz » 8 wrz 2019, o 19:37

Czasem bardziej intuicyjnie ludzie podchodzą do równości \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) niż do \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\), choć wystarczy \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) by rozwiać Twoje wątpliwości.

PS To oczywiście nie dowód bo skąd niby wiadomo, że \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{1}{3}}\) ale takie rozumowanie oddaje intuicję co jest chyba równie istotne.

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 10 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Bran » 8 wrz 2019, o 23:53

Jan Kraszewski pisze:
8 wrz 2019, o 12:12

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_2}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},$$
gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą cyfrą rozwinięcia dziesiętnego.
Nie rozumiem pierwszego i (co za tym idzie) drugiego przejścia. :(

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25600
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4269 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Jan Kraszewski » 8 wrz 2019, o 23:59

Pierwsze przejście to po prostu wyciągnięcie pierwszego elementu sumy przed symbol sumy, a drugie to przenumerowanie sumy.

JK

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Gosda » 9 wrz 2019, o 00:09

Możliwa literówka: w środkowej sumie powinno być \(\displaystyle{ n = 2}\) pod sumą i co za tym idzie, \(\displaystyle{ a_n}\) w liczniku ułamka.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25600
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4269 razy

Re: Udowodnić (ułamek okresowy)

Post autor: Jan Kraszewski » 9 wrz 2019, o 00:48

Gosda pisze:
9 wrz 2019, o 00:09
Możliwa literówka: w środkowej sumie powinno być \(\displaystyle{ n = 2}\) pod sumą i co za tym idzie, \(\displaystyle{ a_n}\) w liczniku ułamka.
W rzeczy samej. Poprawiłem. Powinno być
\[10\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^n} =\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}} =a_1+\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{10^{n-1}}=a_1+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{10^n},\]
JK

ODPOWIEDZ