Nierówność z iloczynem

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_1...a_n =1}\) i liczby \(\displaystyle{ a_j}\) są dodatnie, to \(\displaystyle{ a_1^k +...+a_n^k \geq a_1^l +...+a_n^l,}\) gdy \(\displaystyle{ k \geq l >0.}\)

[Premislav]

Co to znaczy dlz?
Dla \(\displaystyle{ k=l}\) sprawa jest oczywista, mamy równość. Dalej niech \(\displaystyle{ k>l}\). Mnożymy nierówność stronami przez \(\displaystyle{ (a_1\ldots a_n)^{\frac{k-l}{n}}=1}\) i mamy równoważną wyjściowej nierówność jednorodną
\(\displaystyle{ a_1^k+\ldots+a_n^k\ge a_1^{l+\frac{k-l}{n}}(a_2\ldots a_n)^{\frac{k-l}{n}}+\ldots+a_n^{l+\frac{k-l}{n}}(a_1\ldots a_{n-1})^{\frac{k-l}{n}}}\)
a to idzie z nierówności między ważoną średnią arytmetyczną a ważoną średnią geometryczną:
\(\displaystyle{ \frac{ln+k-l}{nk}a_1^k+ \frac{k-l}{nk}\sum_{i=2}^{n} a_i^k\ge a_1^{l+\frac{k-l}{n}}(a_2\ldots a_n)^{\frac{k-l}{n}}}\)
i \(\displaystyle{ n-1}\) podobnych nierówności (które następnie dodajemy stronami), wszak \(\displaystyle{ \frac{ln+k-l}{nk}+(n-1)\cdot \frac{k-l}{nk}=\frac{nk}{nk}=1}\) i w świetle założeń te współczynniki są dodatnie. Jak ktoś nie zna, to średnie ważone dowodzi się z Jensena dla wklęsłej \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) po zlogarytmowaniu stronami.

[timon92]

przez policzenie pochodnej możemy dowieść, że dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy \(\displaystyle{ t^k\ge t^l + (k-l) \ln t}\) i w takim razie
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i^k \ge \sum_{i=1}^n a_i^l + (k-l)\sum_{i=1}^n \ln a_i \\
\phantom{\sum_{i=1}^n a_i^k}= \sum_{i=1}^n a_i^l + (k-l)\ln \prod_{i=1}^n a_i \\
\phantom{\sum_{i=1}^n a_i^k}= \sum_{i=1}^n a_i^l + (k-l)\ln 1 \\
\phantom{\sum_{i=1}^n a_i^k}= \sum_{i=1}^n a_i^l}\)