Układ bikwadraty

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ y^2+ z^4=0 \\ y+ z^2+ x^4=0 \\ z+ x^2+y^4=0 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb rzeczywistych

[Dilectus]

Podam tylko oczywiste rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x=y=z=0}\)

[albanczyk123456]

Kolejnym, mniej oczywistym rozwiązaniem (ale nadal oczywistym) jest rozwiązanie
\(\displaystyle{ x=y=z= \sqrt[3]{\frac{-1 +\sqrt{ \frac{31}{27} } }{2}}+\sqrt[3]{\frac{-1-\sqrt{ \frac{31}{27} } }{2}}}\)

[Dilectus]

albanczyk123456, jak do tego doszedłeś?

[timon92]

prawdopodobnie założył, że \(\displaystyle{ x=y=z}\) i znalazł jedyny niezerowy rzeczywisty pierwiastek równania \(\displaystyle{ x+x^2+x^4=0}\)

to ja teraz pokażę, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają ten układ równań, to \(\displaystyle{ x=y=z}\)

po pierwsze zauważmy, że zmienne są niedodatnie, gdyż \(\displaystyle{ x=-y^2-z^4\le 0}\) i analogicznie dla \(\displaystyle{ y,z}\)

ze względu na cykliczność układu możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszą z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\)

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) \(\displaystyle{ x\le y\le z}\), wówczas ze względu na niedodatniość zmiennych mamy \(\displaystyle{ x^2 \ge y^2}\) oraz \(\displaystyle{ y^4 \ge z^4}\), zatem

\(\displaystyle{ -z = x^2+y^4 \ge y^2+z^4 = -x,}\)

a to oznacza, że \(\displaystyle{ z \le x}\), więc w istocie \(\displaystyle{ x=y=z}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ}\) \(\displaystyle{ x\le z\le y}\), wówczas \(\displaystyle{ x^4 \ge z^4}\) i \(\displaystyle{ z^2 \ge y^2}\), więc

\(\displaystyle{ -y=z^2+x^4 \ge y^2+z^4=-x,}\)

zatem \(\displaystyle{ y \le x}\) i znowuż wynika stąd, że \(\displaystyle{ x=y=z}\)