Wzory Viete'a, suma odwrotności kwadratów

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ -6x ^{2}+3x+2=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} _{1} } + \frac{1}{x ^{2} _{1} }}\)
Mamy funkcję kwadratową i jej pierwiastki. Chodzi o to, że muszę uprościć tę sumę kwadratów do jakiejś normalnej postaci (z \(\displaystyle{ a, b, c}\)), żebym mogła policzyć tę sumę kwadratów dla tej funkcji kwadratowej. Wychodzą mi jakieś dziwne rzeczy typu \(\displaystyle{ b ^{4}}\).

Mam jeszcze parę innych przykład na samo uproszczenie do postaci z \(\displaystyle{ a, b, c}\), które też mi nie wychodzą.
\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} _{1} \cdot x _{2}} + \frac{1}{x _{1} \cdot x ^{2} _{2}}}\)

\(\displaystyle{ x ^{3} _{1} + x ^{3} _{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{3} _{1} }+ \frac{1}{x ^{3} _{2}}}\)

[Janusz Tracz]

Chodzi o to by te wyrażania zapisać jako jakieś "kombinacje" wyrażań \(\displaystyle{ x_1x_2}\) oraz \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) co pozwoli Ci korzystać z wzorów Viete'a a to uchroni Cię od liczenia tych pierwiastków jawnie.

\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} _{1} } + \frac{1}{x ^{2} _{2} }= \frac{x_1^2+x_2^2}{\left( x_1x_2\right)^2 }=\frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2}{\left( x_1x_2\right)^2 }=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{\left( x_1x_2\right)^2 }}\)

No i teraz wystarczy, że wstawisz zamiast \(\displaystyle{ x_1x_2}\) oraz \(\displaystyle{ x_1+x_2}\) odpowiedni współczynniki wielomianu, o tym jak to zrobić mówią wzorów Viete'a. Potem analogicznie

\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} _{1} \cdot x _{2}} + \frac{1}{x _{1} \cdot x ^{2} _{2}}= \frac{1}{x_1x_2} \cdot \left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1} \right)= \frac{x_1+x_2}{\left( x_1x_2\right)^2 }}\)

dwa kolejne tak samo się robi tylko z worami na sumę sześcianów trzeba się zaprzyjaźnić.

[Niepokonana]

Tak, to zadziałało, ale mam problem z innymi zadaniami. Przepraszam że tak dużo, ale jestem dosyć do tyłu i staram się jak najszybciej nadrobić.
Równanie \(\displaystyle{ 4x ^{2}+bx+12=0}\) ma dwa pierwiastki, które są liczbami naturalnymi. Wyznacz wartość b.


Liczby \(\displaystyle{ x _{1} i x_{2}}\) są miejscami zerowymi funkcji \(\displaystyle{ f(x)=-2 x^{2}+bx+c}\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji należy do prostej \(\displaystyle{ y=8}\). Wyznacz wzór funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), jeżeli \(\displaystyle{ \frac{x _{1}+x_{2} }{x_{1}x_{2}}= \frac{2}{3}}\).

To drugie wyszło mi dobrze tylko do połowy, nie wiem, jakie przekształcenia w nich zrobić.

[kerajs]

Równanie \(\displaystyle{ 4x ^{2}+bx+12=0}\) ma dwa pierwiastki, które są liczbami naturalnymi. Wyznacz wartość b.

\(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{c}{a} \\
x_1x_2=3\\
x_1x_2=1 \cdot 3\\
\\
x_1+x_2= \frac{-b}{a} \\
1+3= \frac{-b}{4}}\)


EDIT:
Przepraszam, że się wtrąciłem.

[Janusz Tracz]

Równanie \(\displaystyle{ 4x ^{2}+bx+12=0}\) ma dwa pierwiastki, które są liczbami naturalnymi. Wyznacz wartość \(\displaystyle{ b}\).

Z wzoru Viet iloczyn pierwiastków to \(\displaystyle{ x_1x_2= \frac{12}{4}=3}\) skoro \(\displaystyle{ x_1,x_2\in\NN}\) to \(\displaystyle{ x_1=1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=3}\) lub odwrotnie. Zatem funkcje kwadratową z zadania można przedstawić w postaci iloczynowej \(\displaystyle{ 4(x-1)(x-3)}\). By policzyć \(\displaystyle{ b}\) można wymnożyć te nawiasy i porównać wielomiany co daje \(\displaystyle{ 4x ^{2}+bx+12=4x ^{2}-16x+12}\) czyli \(\displaystyle{ b=-16}\)

Liczby\(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) są miejscami zerowymi funkcji \(\displaystyle{ f(x)=-2 x^{2}+bx+c}\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji należy do prostej \(\displaystyle{ y=8}\). Wyznacz wzór funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), jeżeli \(\displaystyle{ \frac{x _{1}+x_{2} }{x_{1}x_{2}}= \frac{2}{3}}\).

Trzeba rozwiązać układ równań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)=8 \\ \frac{x _{1}+x_{2} }{x_{1}x_{2}}= \frac{2}{3} \end{cases}}\)

Pierwsze równanie zadaje warunek na wierzchołek. A drugi warunek jest z treści zadania. No i proponuję zapisać ten układ w kontekście wzorów Viet'a czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} f\left( \frac{b}{4} \right)=8 \\ \frac{-b}{c}= \frac{2}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2\left( \frac{b}{4} \right) ^{2}+ \frac{b^2}{4} +c
=8 \\ \frac{-b}{c}= \frac{2}{3} \end{cases}}\)

Wyznacz z drugiego \(\displaystyle{ c}\) wstaw do pierwszego i dostaniesz równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ b}\).

To drugie wyszło mi dobrze tylko do połowy, nie wiem, jakie przekształcenia w nich zrobić.

Na przyszłość. W razie pytań napisz to co zrobiłaś bez tego nikt nie jest Ci w stanie pomóc bo nikt się nie domyśli co masz w zeszycie.

[Niepokonana]

Nie szkodzi, dziękuję za każdą dobrą odpowiedź.
EDIT:
W zeszycie mam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases}}\)
Doszłam tylko do wniosku, że różnica między pierwiastkami wynosi 4...

-- 7 sie 2019, o 21:23 --

A mógłbyś dokończyć to równanie?
Napisałam, że \(\displaystyle{ c=- \frac{2}{3}b}\). No więc \(\displaystyle{ -2( \frac{b}{4})^{2}+ \frac{b^{2}}{4}- \frac{2}{3}b -8=0}\) i wyszła mi delta \(\displaystyle{ \frac{40}{9}}\)

[Thingoln]

Źle wyliczyłaś c, powinno być
\(\displaystyle{ c = - \frac {3}{2} b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2 \left(\frac {b}{4} \right)^2 + \frac {b^2}{4} + c = 8 \\ \frac {-b}{c} = \frac {2}{3} \end{cases}}\)

Z drugiego równania, mnożąc obustronnie najpierw przez c mamy:
\(\displaystyle{ -b = \frac {2}{3} \cdot c}\)
a następnie mnożąc obustronnie przez \(\displaystyle{ \frac {3}{2}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ - \frac {3}{2} b = c}\)
\(\displaystyle{ c = -\frac {3}{2} b}\)

Wstawiając c do pierwszego równania mamy:

\(\displaystyle{ -2 \left(\frac{b}{4} \right)^2 + \frac{b^2}{4} - \frac {3}{2} b = 8}\)

\(\displaystyle{ -2 \cdot \frac {b^2}{16} + \frac {b^2}{4} - \frac {3}{2} b = 8}\)

\(\displaystyle{ \frac {-b^2}{8} + \frac {b^2}{4} - \frac {3}{2} b = 8}\)

Mnożąc obustronnie przez 8 otrzymujemy:

\(\displaystyle{ -b^2 + 2 b^2 - 12b = 64}\)
\(\displaystyle{ b^2 - 12b - 64 = 0}\)

Teraz trzeba jedynie obliczyć pierwiastki tego równania kwadratowego.

[Niepokonana]

Ej, masz rację, dzięki, można zamknąć wątek.