Kwadraty i sześciany

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+3xy^2 =-49 \\ x^2-8xy +y^2 =8y - 17x \end{cases}}\)

[Premislav]

Podstawmy \(\displaystyle{ x=a-1, \ y=b-4}\), a układ przyjmie formę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3 - 3 a^2 + 3 a b^2 - 24 a b + 51 a - 3 b^2 + 24 b =0 \\ a^2 - 8 a b + 47 a + b^2 - 8 b = 0\end{cases} \ (*)}\)
Pomnóżmy teraz drugie równanie stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) i dodajmy do pierwszego stronami, a otrzymamy:
\(\displaystyle{ a^3-48ab+3ab^2+192a=0\\ a(a^2+3(b-8)^2)=0}\)
Stąd z pewnością \(\displaystyle{ a=0}\) i wracając np. do pierwszego równania układu \(\displaystyle{ (*)}\)
oraz wstawiając tam \(\displaystyle{ a:=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ -3b^2+24b=0}\), czyli \(\displaystyle{ b=0\vee b=8}\).
Wracając do wyjściowego układu, mamy rozwiązania \(\displaystyle{ (x,y)=(-1, -4), \ (x,y)=(-1, 4)}\).

[kerajs]

Inaczej i trudniej, ale ...

Wiedząc, że \(\displaystyle{ xy \neq 0}\) (gdyż dla \(\displaystyle{ x=0}\) pierwsze równanie jest sprzeczne, a dla \(\displaystyle{ y=0}\) sprzeczny jest układ) przyjmuję iż \(\displaystyle{ y=tx}\). Układ ma teraz postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=tx \\ x^3(1+3t^2)=-49 \\ x(1-8t+t^2)=8t-17 \end{cases}}\)
Wyliczenie z ostatniego równania x i wstawienie do środkowego daje równanie względem niewiadomej \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ (8t-17)^3(1+3t^2)=-49(1-8t+t^2)^3}\)
które zwija się do:
\(\displaystyle{ (t+4)^3(t-4)(49t^2-32t+19)=0}\)
co potwierdza rozwiązanie Przemka w liczbach rzeczywistych:
\(\displaystyle{ t=-4 \Rightarrow x^3(1+3 \cdot (-4)^3)=-49 \Rightarrow (x=-1 \wedge y=-4)\\
t=4 \Rightarrow x^3(1+3 \cdot 4^3)=-49 \Rightarrow (x=-1 \wedge y=4)}\)

... ale w liczbach zespolonych jest jeszcze z 10 innych rozwiązań.

[Norbert Wyszynski]

W skrócie (czego lepiej nigdy nie robić) \(\displaystyle{ (x,y)=(-1, -4), (x,y)=(-1, 4)}\).