suma kolejnych potęg liczby

[Bran]

Zastanawiam się, czy dla \(\displaystyle{ k}\) naturalnego istnieje jakiś wzór, którym dałoby się zapisać: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{t-1} k^n}\) oczywiście oprócz: \(\displaystyle{ k^0 + k^1 + \dots + k^{t-1}}\)

Da się to zrobić?

[kerajs]

\(\displaystyle{ ...= \begin{cases} \frac{k^t-1}{k-1} & \text{dla} \ k \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \\ t & \text{dla} \ k =1 \end{cases}}\)

[Bran]

kerajs, jesteś przekonany?
Bo dziwne rzeczy mi wychodzą.

[Jan Kraszewski]

Bo dziwne rzeczy mi wychodzą.

Jakie?

JK

[Bran]

W publikacji: Steven J. Kifowit, Prairie State College; More Proofs of Divergence of the Harmonic Series, znalazłem informację, że:
\(\displaystyle{ \frac{k}{k+1}+\frac{k}{k^2+k+1}+\frac{k}{k^3+k^2+k+1}+\dots > \\ \left( \frac{k}{k+1} \right) + \left( \frac{k}{k+1} \right)^2 + \left( \frac{k}{k+1} \right)^3 + \dots}\)

Taki zapis sugeruje mi, że:

\(\displaystyle{ \frac{k(k-1)}{k^t-1} > \left( \frac{k}{k+1} \right)^t}\)
ale to bzdura przecież, więc albo ta suma jest jakoś sprytniej oszacowana, albo ktoś (najpewniej ja) się tutaj gdzieś pomylił.

[Janusz Tracz]

To, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{t-1} k^n}\) zazwyczaj równa się \(\displaystyle{ \frac{k^t-1}{k-1}}\) nie oznacza, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k^2+k+1}+\frac{1}{k^3+k^2+k+1}+\dots=\frac{k-1}{k^t-1}}\)

Wszak \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \neq \frac{1}{a+b}}\). Bo innego uzasadnienia Twojej sugestii nie widzę. Być może się mylę i chodzi Ci o coś innego w takim razie sorki.

Co do nierówności z książki to zauważ, że dla dodatniego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ k^n+k^{n-1}+...+k+1 \le (k+1)^n}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{1}{(k+1)^n}}\)

gdy \(\displaystyle{ k \le 1}\) to dodatkowo:

\(\displaystyle{ \frac{k}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{k^n}{(k+1)^n}=\left(\frac{k}{k+1} \right)^n}\)

Sumując tą nierówność po \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\) dostaniesz to co napisałeś. Choć bez szerszego kontekstu trudno mi powiedzieć coś więcej o tej nierówność.-- 26 lip 2019, o 23:53 --PS Wzór kerajsa działa nawet dla \(\displaystyle{ k\in\RR \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)

[Bran]

To, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{t-1} k^n}\) zazwyczaj równa się \(\displaystyle{ \frac{k^t-1}{k-1}}\) nie oznacza, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k^2+k+1}+\frac{1}{k^3+k^2+k+1}+\dots=\frac{k-1}{k^t-1}}\)

Wszak \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \neq \frac{1}{a+b}}\). Bo innego uzasadnienia Twojej sugestii nie widzę. Być może się mylę i chodzi Ci o coś innego w takim razie sorki.

Chodziło mi o to, że taka redakcja nierówności, w której są trzy wyrazy z lewej i trzy wyrazy z prawej, nasunęły mi myśl, że zostało to oszacowane wyraz po wyrazie wyrazie. Jednak jak widać oszacowanie jest trochę bardziej subtelne.

Co do nierówności z książki to zauważ, że dla dodatniego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ k^n+k^{n-1}+...+k+1 \le (k+1)^n}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{1}{(k+1)^n}}\)

Pierwsza nierówność wynika na przykład z dwumianu Newtona, a druga jest konsekwencją pierwszej. Tutaj chyba dobrze rozumuję. Jednak:

gdy \(\displaystyle{ k \le 1}\) to dodatkowo:

\(\displaystyle{ \frac{k}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{k^n}{(k+1)^n}=\left(\frac{k}{k+1} \right)^n}\)

Nie bardzo rozumiem co tutaj zaszło. Mógłbym prosić o słówko wyjaśnienia?

[Janusz Tracz]

Chodziło mi o to, że taka redakcja nierówności, w której są trzy wyrazy z lewej i trzy wyrazy z prawej, nasunęły mi myśl, że zostało to oszacowane wyraz po wyrazie wyrazie. Jednak jak widać oszacowanie jest trochę bardziej subtelne.

To jest niezła myśl. Potem tak właśnie to traktowałem. Pokazałem, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \frac{k}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{k^n}{(k+1)^n}=\left(\frac{k}{k+1} \right)^n}\)

pod warunkiem, że \(\displaystyle{ k\in\left( 0,1\right]}\). Stąd powyższa nierówność po zsumowaniu stronami po \(\displaystyle{ n}\).

Jednak:

Janusz Tracz napisał(a):
gdy \(\displaystyle{ k \le 1}\) to dodatkowo:
\(\displaystyle{ \frac{k}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{k^n}{(k+1)^n}=\left(\frac{k}{k+1} \right)^n}\)

Nie bardzo rozumiem co tutaj zaszło. Mógłbym prosić o słówko wyjaśnienia?

Gdy \(\displaystyle{ k\in\left( 0,1\right]}\) to dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ k \ge k^n}\). Podniesienie liczby "małej" do potęgi "dużej" (przy subiektywnym acz wynikającym z założeń znaczeniu słów małe,dużo) powoduje jej pomniejszenie. To jest napisane w języku matematyki. Mając tą nierówność i tą która już rozumiesz tj.

\(\displaystyle{ \frac{1}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{1}{(k+1)^n}}\)

można pomnożyć stronami nierówność co daje to co chcemy czyli

\(\displaystyle{ \frac{k}{k^n+k^{n-1}+...+k+1} \ge \frac{k^n}{(k+1)^n}=\left(\frac{k}{k+1} \right)^n}\)

[Bran]

Janusz Tracz, obawiam się, że w pracy, którą przywołałem wcześniej - \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną, większą od \(\displaystyle{ 1}\).

Rozumowanie przełożone na Polski (ja przekładałem, także pewnie beznadziejnie) prezentuje się mniej więcej tak:

Począwszy od drugiego, pogrupujmy wyrazy szeregu harmonicznego tak, aby w pierwszej grupie było \(\displaystyle{ k^1}\) wyrazów, w drugiej \(\displaystyle{ k^2}\) wyrazów, w trzej \(\displaystyle{ k^3}\), w \(\displaystyle{ n}\)-tej \(\displaystyle{ k^n}\) i tak dalej...

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \underbrace{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k+1} \right)}_{k} + \underbrace{\left(\frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + \dots + \frac{1}{k^2 + k + 1} \right)}_{k^2} +}\)
\(\displaystyle{ \underbrace{\left( \frac{1}{k^2+k+2} + \frac{1}{k^2+k+3} + \dots + \frac{1}{k^3 + k^2 + k + 1} \right)}_{k^3} + \dots}\)
\(\displaystyle{ > \frac{k}{k+1}+\frac{k}{k^2+k+1}+\frac{k}{k^3+k^2+k+1}+\dots > \left( \frac{k}{k+1} \right) + \left( \frac{k}{k+1} \right)^2 + \left( \frac{k}{k+1} \right)^3 + \dots
=\frac{1}{1-\frac{k}{k+1}} = k+1.}\)

A ponieważ zachodzi to dla dowolnego dodatniego, całkowitego \(\displaystyle{ k}\), szereg harmoniczny jest rozbieżny.

[Premislav]

To jest zwykły błąd w zapisie dowodu, idea jest jasna z tego, co zostało napisane. Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{k+1}>\frac{k}{k+1}\\\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{k^2+k+1}>\frac{k^{\red{ 2}}}{k^2+k+1}\\ \frac{1}{k^2+k+2}+\ldots+\frac{1}{k^3+k^2+k+1}>\frac{k^{\red{3}}}{k^3+k^2+k+1}}\)
i tak dalej, w zapisie zgubiono po prostu te wykładniki.
Po prostu grupujemy na sumy \(\displaystyle{ k^t}\) składników, z których najmniejszy jest postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{k^t+k^{t-1}+\ldots+k+1}}\) i szacujemy przez \(\displaystyle{ k^t}\) razy najmniejszy składnik.
A już nierówność
\(\displaystyle{ \frac{k^t}{k^t+k^{t-1}+\ldots+k+1}>\left( \frac{k}{k+1}\right)^t}\)
dla \(\displaystyle{ k,t\in \NN^+, \ k>1}\) jak najbardziej zachodzi. Równoważnie bowiem:
\(\displaystyle{ (k+1)^t>k^t+k^{t-1}+\ldots+1}\)
co w sposób oczywisty wynika ze wzoru dwumianowego Newtona.


Na drugi raz proponuję od razu wrzucać dokładny zapis rozumowania z książki, z którym masz problem, ponieważ w przeciwnym razie każesz nam zgadywać, co mija się z celem.

[Norbert Wyszynski]

Niestety jest błąd w zapisie dowodu