Bez pierwiastka

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ ab+bc+ca=1}\); Usunąć pierwiastek z wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}\)

[albanczyk123456]

\(\displaystyle{ \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}= ((1+a^2)(1+b^2)(1+c^2))^{ \frac{1}{2} }}\)

[kerajs]

inaczej:
\(\displaystyle{ c= \frac{1-ab}{a+b}}\)
To wyrażenie zawsze istnieje gdyż dla \(\displaystyle{ b=-a}\) mam:
\(\displaystyle{ ab+ac+bc=-a^2+ac-ac=-a^2 \neq 1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+(\frac{1-ab}{a+b} )^2)} = \sqrt{((a+b)^2+(1-ab)^2) \frac{(a+b)^2+(1-ab)^2}{(a+b)^2} }=\\=\frac{(a+b)^2+(1-ab)^2}{\left| a+b\right| }}\)

[mol_ksiazkowy]

A żeby nie było ułamka... ?

[Elayne]

\(\displaystyle{ \sqrt{(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)} = \sqrt{(ab + bc + ca + a^2)(ab + bc + ca + b^2)(ab + bc + ca + c^2)} = \sqrt{(a + b)^2 (a + c)^2 (b + c)^2}=(a + b) (a + c) (b + c)}\)