Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}} + \frac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}} \ \ dla \ x=2}\)

i podobne:

\(\displaystyle{ \frac{1+a}{1+\sqrt{1+a}} - \frac{1-a}{1-\sqrt{1-a}} \ \ dla \ a=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Czy da się to policzyć w 'ładny' sposób. Po pozbyciu się pierwiastków z mianownika wychodzi góra liczenia? Z wzorów też jakoś nie szło. Zadanie jest z podr. Pawłowskiego.

Ad. 1
Podstawmy za x 2, wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}} \\
wtedy\\
\sqrt{2+\sqrt{3}}\ mozna przedstawic\ jako:\\
\frac{(1-\sqrt{3})6{2}}{2}\\
W\ mianowniku\ otrzymamy\ wiec:
\sqrt{2}+\sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}}=\sqrt{\frac{4}{2}}+\sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}}=
\frac{2+\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\\
teraz\ jeszcze\ tylko\ wrzucamy\ \sqrt{2}\ do\ licznika\ i\ mnozymy\ licznik\ i\ mianownik\ przez\\ (3-\sqrt{3})\\

I\ podobie\ z\ drugim\ ulamkiem\ wtedy\ pieknie\ sie\ upraszcza}\)