Mnożenie ułamków podniesionych do potęg

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Sinni
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 cze 2019, o 20:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ztm

Mnożenie ułamków podniesionych do potęg

Post autor: Sinni »

Witam, w jaki sposób najprościej można policzyć takie mnożenie bez podnoszenia każdego ułamku osobno do potęgi. Żeby dodać potęgi musiałabym mieć dwa takie same ułamki?

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}^2 \cdot \frac{2}{15}^8}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Mnożenie ułamków podniesionych do potęg

Post autor: Janusz Tracz »

A to nie miało być \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{15} \right)^8}\) ? Bo wersja z podnoszeniem jedynki do kwadratu jest wątpliwa. Jednak niezależnie od wersji nic sensownego nie da się z tymi ułamkami zrobić.
Żeby dodać potęgi musiałabym mieć dwa takie same ułamki?
Tak.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Mnożenie ułamków podniesionych do potęg

Post autor: Dilectus »

Sinni, to się robi tak:

\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{b} \right)^k \cdot \left( \frac{c}{d} \right)^m= \frac{a^k\cdot c^m}{b^k\cdot d^m}}\)

oczywiście \(\displaystyle{ b \neq 0, \ d \neq 0}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Mnożenie ułamków podniesionych do potęg

Post autor: kruszewski »

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{15} \right)^8}\)
drugi czynnik można napisać na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{15} \right)^8 = \left( \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^2 \right) ^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^8 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^8}\)
wykorzystując drugi sposób możemy napisać:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{15} \right)^8 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^8 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^8 = \left( \frac{1}{3} \right)^{2+8} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^8= \left( \frac{1}{3} \right)^{10} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^8}\)

A z najmniejszym wysiłkiem to takie działanie: \(\displaystyle{ \frac{2^8}{9 \cdot 15^8}}\)

I najpewniej o to chodzi w tym zadaniu.
ODPOWIEDZ