W rozwiązaniu należy wykorzystać poniższy sposób podany przez autora:
Sposób pierwszy oparty będzie na dwóch oczywistych równościach:\(\displaystyle{ \\ \\ (1) \ \ \ \ \ (a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+ \ldots +(a_{n}-a_{n-1})+(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+1}-a_{1} \ , \\ \\ (2) \ \ \ \ \ \frac{a_{2}}{a_{1}} \cdot \frac{a_{3}}{a_{2}} \cdot \frac{a_{4}}{a_{3}} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}}{a_{1}} \ ,}\)
które należy zastosować do ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) obranego odpowiednio dla danej sumy czy iloczynu.
Mamy \(\displaystyle{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}\) i \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\), więc \(\displaystyle{ (2k)^4+\frac 1 4=\left( (2k)^2+\frac 12\right)^2-(2k)^2=\left( 4k^2-2k+\frac 1 2\right)\left( 4k^2+2k+\frac 1 2\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ (2k-1)^4+\frac 1 4=\left( (2k-1)^2+\frac 1 2\right)^2-(2k-1)^2=\left( 4k^2-6k+\frac 5 2\right)\left( 4k^2-2k+\frac 1 2\right)}\),
stąd \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \frac{(2k-1) ^{4}+ \frac{1}{4}}{(2k)^{4}+\frac{1}{4} }
=\prod_{k=1}^{n} \frac{4k^2-6k+\frac 5 2}{4k^2+2k+\frac 1 2}}\)
i teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ 4(k+1)^2-6(k+1)+\frac 5 2=4k^2+2k+\frac 1 2}\),
więc powyższy iloczyn ma postać \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ a_k=4k^2-6k+\frac 5 2}\),
no i prawie wszystko się skraca, jak w tożsamości (2), którą zacytowałeś.
-- 13 cze 2019, o 10:44 --
Ale o co chodzi z wykorzystaniem tej pierwszej równości, to [ciach] nie rozumiem. Przypomniało mi się, że już kiedyś robiłem na forum to zadanie, ale znacznie mniej sprytnie, przez indukcję.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2019, o 15:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód:Poprawa wiadomości.
Dziękuje bardzo za pomoc. Pierwszy wzór można zastosować w podobny sposób do obliczania niektórych sum.-- 14 cze 2019, o 15:49 --Jeśli ktoś ma ochotę może zrobić kolejne zadanie z KMDO za pomocą zacytowanego przeze mnie powyżej sposobu:
