Mam udowodnić nierówność dla różnych od siebie i większych od \(\displaystyle{ 1}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ a,b,c}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right) \le \frac{91}{8}}\)
Udowodnij nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 260
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 68 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Udowodnij nierówność
Wystarczy rozważyć trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) spełniające warunki zadania i będące permutacjami \(\displaystyle{ (2,3,4)}\), a to dlatego, że
jeśli trójka \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) nie jest permutacją takiej trójki, to \(\displaystyle{ a>4\vee b>4 \vee c>4}\) i wówczas możemy np. zmniejszyć \(\displaystyle{ \max\left\{ a,b,c\right\}}\) zwiększając tym samym wartość iloczynu \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right)}\),
co powinno być oczywiste.
Niech więc \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) będzie permutacją \(\displaystyle{ (2,3,4)}\).
Udowodnimy, że wówczas
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right)\le \left( 1+ \frac{1}{2} \right)\left( 2+ \frac{1}{3} \right)\left( 3+ \frac{1}{4} \right)}\)
z równością dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,3,4)}\).
W tym celu wykorzystamy następujący fakt:
niech \(\displaystyle{ 0<x<y}\) i niech \(\displaystyle{ 0<\delta\le \frac{y-x}{2}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ xy<(x+\delta)(y-\delta)}\)
Dowód faktu:
wymnażamy na pałę, redukujemy i mamy równoważną tezie faktu nierówność
\(\displaystyle{ \delta< y-x}\), ale to jest oczywiste z uwagi na założenia.
Jeśli \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,3,4)}\), to mamy równość w nierówności, a w przeciwnym razie jest któryś z iloczynów \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right), \ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right), \ \left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right)}\)
możemy zwiększyć na mocy faktu, zamieniając mianowniki ułamków. Tym samym zwiększymy cały iloczyn. Tyle.
jeśli trójka \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) nie jest permutacją takiej trójki, to \(\displaystyle{ a>4\vee b>4 \vee c>4}\) i wówczas możemy np. zmniejszyć \(\displaystyle{ \max\left\{ a,b,c\right\}}\) zwiększając tym samym wartość iloczynu \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right)}\),
co powinno być oczywiste.
Niech więc \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) będzie permutacją \(\displaystyle{ (2,3,4)}\).
Udowodnimy, że wówczas
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right)\le \left( 1+ \frac{1}{2} \right)\left( 2+ \frac{1}{3} \right)\left( 3+ \frac{1}{4} \right)}\)
z równością dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,3,4)}\).
W tym celu wykorzystamy następujący fakt:
niech \(\displaystyle{ 0<x<y}\) i niech \(\displaystyle{ 0<\delta\le \frac{y-x}{2}}\). Wtedy
\(\displaystyle{ xy<(x+\delta)(y-\delta)}\)
Dowód faktu:
wymnażamy na pałę, redukujemy i mamy równoważną tezie faktu nierówność
\(\displaystyle{ \delta< y-x}\), ale to jest oczywiste z uwagi na założenia.
Jeśli \(\displaystyle{ (a,b,c)=(2,3,4)}\), to mamy równość w nierówności, a w przeciwnym razie jest któryś z iloczynów \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 2+ \frac{1}{b} \right), \ \left( 1+ \frac{1}{a} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right), \ \left( 2+ \frac{1}{b} \right)\left( 3+ \frac{1}{c} \right)}\)
możemy zwiększyć na mocy faktu, zamieniając mianowniki ułamków. Tym samym zwiększymy cały iloczyn. Tyle.