Mamy \(\displaystyle{ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x+y+z)^2-6(xy+yz+zx)}\)
oraz \(\displaystyle{ x(y-z)^2 + y(z-x)^2+ z(x-y)^2=(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz}\)
Niech \(\displaystyle{ p=x+y+z, \ q=xy+yz+zx, \ r=xyz}\).
Wówczas nasz układ równań przyjmuje postać: \(\displaystyle{ \begin{cases}p=1 \\2p^2-6q=68 \\ pq-9r=16\end{cases}}\)
Z tego układu łatwo wyliczamy, że \(\displaystyle{ p=1, \ q=-11, \ r=-3}\),
a zatem ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia wynika, że
liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P(t)=t^3-t^2-11t+3}\),
ale łatwo widać, że \(\displaystyle{ P(t)=(t+3)(t^2-4t +1)=(t+3)(t-2-\sqrt{3})(t-2+\sqrt{3})}\)
Stąd i z symetrii układu już wynika, że rozwiązania wyjściowego układu równań to wszystkie permutacje trójki \(\displaystyle{ (-3, 2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3})}\)
