Udowodnij nierówność używając ciągi jednomonotoniczne

[cmnstrnbnn]

Udowodnij nierówność używając ciągi jednomonotoniczne.

Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ a > 0 , b > 0 , c > 0 ,}\) to zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) \geq 6abc.}\)

Chodzi mi o jak najbardziej szczegółowe rozwiązanie, ponieważ chciałbym zobaczyć jak poprawnie używać tych ciągów przy dowodzeniu.

[timon92]

najpierw zauważ, że nierówność jest symetryczna (tzn. że dowolna zamiana dwóch zmiennych nie zmienia postaci nierówności), więc możemy sobie założyć bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\)

wtedy \(\displaystyle{ ab \ge ac \ge bc}\)

przypomnijmy, że nierówność między ciągami jednomonotonicznymi mówi tyle, że jeśli \(\displaystyle{ x_1\ge x_2\ge \ldots \ge x_n}\) oraz \(\displaystyle{ y_1 \ge y_2 \ge \ldots \ge y_n}\) to
\(\displaystyle{ x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n \ge \\ x_1y_{\sigma(1)}+x_2y_{\sigma(2)}+\ldots+x_ny_{\sigma(n)} \ge \\ x_1y_n+x_2y_{n-1}+\ldots+x_ny_1}\)
dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\)

u nas \(\displaystyle{ n=3, x_1=a, x_2=b, x_3=c, y_1=ab, y_2=ac, y_3=bc}\)

otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_1y_1+x_2y_3+x_3y_2 \ge x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1}\), czyli \(\displaystyle{ a^2b+b^2c+c^2a\ge 3abc}\)

oraz
\(\displaystyle{ x_1y_2+x_2y_1+x_3y_3 \ge x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1}\), czyli \(\displaystyle{ a^2c+b^2a+c^2b \ge 3abc}\)

po dodaniu stronami tych dwóch nierówności dostajemy to co trzeba