Wersja nierówności Jensena

[Kamilossj4]

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ I \subset \RR}\) jest przedziałem i funkcja \(\displaystyle{ f:I \rightarrow \RR}\) jest wypukła, to dla dowolnych \(\displaystyle{ n \in N}\) i \(\displaystyle{ \left( x_1,...,x_n \right) \in I^n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ f \left( \frac{x_1+...+x_n}{n} \right) \le \frac{f \left( x_1 \right) +...+f \left( x_n \right) }{n}}\) .Proszę o rozwiązanie tego zadania.

[Janusz Tracz]

To jest szczególna postać

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Jensena

gdzie "wagi" kombinacji wypukłej się równe \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) (jest ich \(\displaystyle{ n}\) więc sumują się do \(\displaystyle{ 1}\) czyli warunki są spełnione). Dowód nawet w ogólnej wersji idzie przez indukcję gdzie bazą indukcji jest spostrzeganie odnośnie definicji wypukłości, można to wypowiedzieć geometrycznie. Prosta zbudowana na końcach przedziału leży nad

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wypuk%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji

.

[a4karo]

No to pora na moja ulubioną własność funkcji wypukłych: \(\displaystyle{ f:(a,b)\to\RR}\) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ a<c<b}\) jej iloraz różnicowy \(\displaystyle{ \frac{f(x)-f(c)}{x-c}}\) rośnie dla \(\displaystyle{ x\neq c}\).

Niech \(\displaystyle{ p_i\geq 0}\), \(\displaystyle{ p_1+\dots+p_n=1}\) i \(\displaystyle{ a<x_i<b}\) dla \(\displaystyle{ i=1,\dots,n}\)
Pokażemy, że zachodzi nierówność Jensena
\(\displaystyle{ f\left(\sum p_ix_i\right)\leq \sum p_if)x_i.}\)

Niech \(\displaystyle{ \overline{x}=\sum p_ix_y}\) i niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ [f_-'(\overline{x}),f_+'(\overline{x})]}\) (istnienie w każdym punkcie pochodnych jednostronnych funkcji wypukłej wynika wprost z przytoczonej na wstępie własności).

Wtedy liczby \(\displaystyle{ \frac{f(x_i)-f(\overline{x})}{x_i-\overline{x}}-A}\) oraz \(\displaystyle{ x_i-\overline{x}}\) maja ten sam znak.

Zatem
\(\displaystyle{ \sum p_i\left(\frac{f(x_i)-f(\overline{x})}{x_i-\overline{x}}-A\right)(x_i-\overline{x})\geq 0}\)

co po uproszczeniu daje to, co trzeba

[Kamilossj4]

A przez indukcję jak to należy wykazać ? Ktoś wie ?

[a4karo]

I tu niestety mamy problem. Ten, co wiedział jak to się dowodzi umarł parę lat temu. Chodzą pogłoski, że dowód można znaleźć w internecie, ale trzeba się trochę naszukać .

[Janusz Tracz]

A czy Ty w ogóle kliknąłeś w link który Ci dałem... ani be ani me tylko zrób i podaj na tacy.