Równanie z niewiadomą (ułamki + potęgi)

[jordy]

Witam,

Proszę o pomoc w jaki sposób krok po kroku ustalić niewiadomą "y". Według obliczeń Excela y=0,184733.

\(\displaystyle{ 19000+19000 \times \frac{1}{(1+y)}+19000 \times \frac{1}{(1+y)^{2}}+19000 \times \frac{1}{(1+y)^{3}}=60000}\)

Dziękuję, pozdrawiam

[Rozbitek]

Domyślam, że \(\displaystyle{ \times}\) miało być mnożeniem? Dziedzina: \(\displaystyle{ y \neq - 1}\)

1. Najpierw pozbywamy się wyrazu bez niewiadomej z lewej strony, odejmując go stronami. W ten sposób uzyskujemy równanie równoważne:

\(\displaystyle{ 19000 \times \frac{1}{(1+y)}+19000 \times \frac{1}{(1+y)^{2}}+19000 \times \frac{1}{(1+y)^{3}}=60000 - 19000}\)

\(\displaystyle{ 19000 \times \frac{1}{(1+y)}+19000 \times \frac{1}{(1+y)^{2}}+19000 \times \frac{1}{(1+y)^{3}}=41000}\)

2. Dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ 19 \; 000}\) i otrzymujemy równanie równoważne:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+y)}+ \frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{3}}=\frac{41}{19}}\)

3. Tutaj proponuję podstawić: \(\displaystyle{ t = 1+y}\) (\(\displaystyle{ t \neq 0}\))

\(\displaystyle{ \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^3}=\frac{41}{19}}\)

4. Mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ t^3}\)

\(\displaystyle{ t^2 + t + 1 = \frac{41}{19}t^3}\)

5. Przerzucasz \(\displaystyle{ t^3}\) na drugą stronę.

6. Rozwiązujesz równanie trzeciego stopnia.
(Nie będzie wesołe, także jakby był problem to mów)

7. Wracasz do podstawienia i zamieniasz \(\displaystyle{ t}\) na \(\displaystyle{ y+1}\).

Ostatnie trzy punkty spróbuj sam.

[janusz47]

Wyłączamy \(\displaystyle{ 19000}\) przed nawias. W nawiasie otrzymujemy czterowyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q = \frac{1}{1+y}}\)

Dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ 19000}\) i stosujemy wzór na sumę \(\displaystyle{ S_{4}}\) tego ciągu.