Łatwo widać, że \(\displaystyle{ x,y,z>0}\). Dodając stronami pierwsze i drugie równanie oraz odejmując od tego podwojone trzecie, otrzymujemy \(\displaystyle{ (x+y-2z)(x^2+y^2+z^2)=0}\), stąd \(\displaystyle{ z=\frac{x+y}{2}}\).
Teraz dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze i dostajemy: \(\displaystyle{ \frac{y^3+\frac y 4(x-y)^2}{x^3+\frac x 4(x-y)^2} =15}\)
Licznik i mianownik dzielimy przez \(\displaystyle{ x^3}\), podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac y x}\) i mamy: \(\displaystyle{ \frac{t^3+\frac t 4(1-t)^2}{1+\frac 1 4(1-t)^2}=15}\)
Mnożymy stronami przez czterokrotność mianownika i otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 4t^3+t(t-1)^2=60+15(t-1)^2\\5t^3-17t^2+31t-75=0\\ (t-3)(5t^2-2t+25)=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ t=3}\), czyli \(\displaystyle{ y=3x}\). Podstawiając np do pierwszego równania wyjściowego układu \(\displaystyle{ y=3x, z=\frac{x+y}{2}=2x}\) dostajemy równanie \(\displaystyle{ 2x^3=2}\), stąd \(\displaystyle{ x=1}\), zatem rozwiązaniem naszego układu jest trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,3,2)}\).
