Układ z x i N

[mol_ksiazkowy]

Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lfloor x \rfloor +2y = N+2 \\ \lfloor y \rfloor +2x = 3-N \end{cases}}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ N}\) (to jest liczba całkowita)

[kerajs]

Przypuszczam, że tu raczej nie chodzi o wyznaczenie \(\displaystyle{ \frac{x}{N}}\), lecz \(\displaystyle{ x=f(N)}\)
Niech X, Y będą liczbami całkowitymi.
Aby po obu stronach równań w układzie były liczby całkowite to musi zachodzić przypadek:
a)
\(\displaystyle{ x=X \wedge y=Y}\)
a wtedy z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}X+2Y=N+2 \\ Y+2X=3-N \end{cases}}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ X=-N+ \frac{4}{3}}\)
co jest równaniem sprzecznym.
b)
\(\displaystyle{ x=X+ \frac{1}{2} \wedge y=Y}\)
a wtedy z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}X+2Y=N+2 \\ Y+2X+1=3-N \end{cases}}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ X=-N+ \frac{2}{3}}\)
co jest równaniem sprzecznym.
c)
\(\displaystyle{ x=X \wedge y=Y+ \frac{1}{2}}\)
a wtedy z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}X+2Y+1=N+2 \\ Y+2X=3-N \end{cases}}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ X=-N+ \frac{5}{3}}\)
co jest równaniem sprzecznym.
d)
\(\displaystyle{ x=X+ \frac{1}{2} \wedge y=Y+ \frac{1}{2}}\)
a wtedy z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}X+2Y+1=N+2 \\ Y+2X+1=3-N \end{cases}}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ X=-N+ 1 \wedge Y=N}\)
stąd
\(\displaystyle{ x= -N+ \frac{3}{2} \wedge y=N+ \frac{1}{2}}\)