Rozwiąż układ równań

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 7 razy

Rozwiąż układ równań

Post autor: cmnstrnbnn » 23 kwie 2019, o 18:45

Rozwiąż układ równań

\(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR \\ \\ \begin{cases} a+b+c+d=1 \\ abcd=1 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 23 kwie 2019, o 20:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7594
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3001 razy

Re: Rozwiąż układ równań

Post autor: kerajs » 24 kwie 2019, o 11:44

Wiadomo,że żadna z niewiadomych nie jest zerem.
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=1-a-c-d \\ acd(1-a-c-d)=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) traktuję jak parametry:
\(\displaystyle{ a^2cd-acd(c+d-1)+1=0\\ \Delta=cd(cd(c+d-1)^2-4)}\)
Dla takich parametrów niezerowych \(\displaystyle{ c, d}\) przy których \(\displaystyle{ cd(cd(c+d-1)^2-4) \ge 0}\) istnieje nieskończenie wiele rozwiązań typu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{cd(c+d-1)- \sqrt{cd(cd(c+d-1)^2-4)} }{2cd} \\ b=1-\frac{cd(c+d-1)- \sqrt{cd(cd(c+d-1)^2-4)} }{2cd}-c-d \end{cases} \ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases} a= \frac{cd(c+d-1)+ \sqrt{cd(cd(c+d-1)^2-4)} }{2cd} \\ b=1-\frac{cd(c+d-1)+ \sqrt{cd(cd(c+d-1)^2-4)} }{2cd}-c-d \end{cases}}\)

PS
Można jeszcze próbować wskazać zbiór takich \(\displaystyle{ c, d}\) przy których \(\displaystyle{ cd(cd(c+d-1)^2-4) \ge 0}\)
(np: dla dowolnych \(\displaystyle{ c,d}\) różnych znaków układ ma dwa rozwiązania)

cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 7 razy

Rozwiąż układ równań

Post autor: cmnstrnbnn » 24 kwie 2019, o 18:13

Po dłuższym zamyśle, udowodniłem (mam nadzieje że poprawnie) że ten układ równań nie ma żadnych rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Podnoszę równanie \(\displaystyle{ \ a+b+c+d=1}\) do kwadratu, co daje w rezultacie

\(\displaystyle{ \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd=1 \ge 0}\)

Wiemy ze:
\(\displaystyle{ 1. \ ab \wedge cd \\ 2. \ ac \wedge bd \\ 3. \ ad \wedge cb \\}\)

są tego samego znaku, ponieważ \(\displaystyle{ \ abcd=1}\). Co jednocześnie oznacza, że

\(\displaystyle{ ab=x \wedge cd= \frac{1}{x} \\ \\ ac=y \wedge bd= \frac{1}{y} \\ \\ ad=z \wedge bd= \frac{1}{z}}\)


Przekształcając nierówność daje nam to
\(\displaystyle{ \underbrace{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}_{ \ge 0} +\underbrace{2 \left( x+\frac{1}{x} \right) }_{ \ge 4}+\underbrace{2 \left( y+\frac{1}{y} \right) }_{ \ge 4}+\underbrace{2 \left( z+\frac{1}{z} \right) }_{ \ge 4}=1 \not\ge 12}\)

Wychodzi sprzeczność, co oznacza że nie ma takich liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \RR}\) spełniających dany układ równań
Ostatnio zmieniony 24 kwie 2019, o 18:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14872
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4926 razy

Re: Rozwiąż układ równań

Post autor: Premislav » 24 kwie 2019, o 18:26

Tak na pierwszy rzut oka niedobrze jest to, że \(\displaystyle{ x+\frac 1 x\ge 2}\) zachodzi w dodatnich, a w treści zadania nie ma takiego ograniczenia. W dodatnich brak rozwiązań natychmiast wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla czterech zmiennych:
\(\displaystyle{ \frac 1 4=\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}=1}\), a to jest sprzeczność. Ale jeśli chodzi o dowolne liczby rzeczywiste, to jak najbardziej rozwiązania istnieją (nawet nieskończenie wiele), co napisał już kerajs.

-- 24 kwi 2019, o 17:31 --

Generalnie taki układ warunków kojarzy się ze wzorami Viete'a dla wielomianu czwartego stopnia, ale za mało jest tych warunków, by jednoznacznie określić wielomian. Każda czwórka \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) będąca rozwiązaniem to pierwiastki pewnego wielomianu postaci
\(\displaystyle{ x^4-x^3+px^2+qx+1}\).

ODPOWIEDZ