wykazanie nierównosci

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c=3}\). Wykaż że \(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \le (abc)^{-\frac{7}{3}}}\).

[arek1357]

\(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \le (abc)^{- \frac{7}{3} }/ \cdot a^{ \frac{7}{3}}}\)

\(\displaystyle{ \left( abc\right)^{ \frac{7}{3} }\left(a^3+b^3+c^3 \right) \le 3/^3}\)

\(\displaystyle{ \left( abc\right)^7 \left(a^3+b^3+c^3 \right)^3 \le 27}\)

Po skorzystaniu, że są to wielomiany symetryczne otrzymamy po standardowych przekształceniach:

\(\displaystyle{ \left( abc\right)^7\left[ \left( a+b+c\right)^3-3\left( a+b+c\right)\left( ab+ac+bc\right)+3abc\right]^3 \le 27}\)

Korzystając z tego, że:

\(\displaystyle{ a+b+c=3}\) i dalej upraszczając otrzymamy:

\(\displaystyle{ \left( abc\right)^7\left[ 27-9\left( ab+ac+bc\right)+3abc \right]^3 \le 27}\)

lub:

\(\displaystyle{ \left( abc\right)^7\left[ 9-3\left( ab+ac+bc\right)+abc \right]^3 \le 1}\)

korzystając z tego, że:

\(\displaystyle{ ab+ac+bc \ge 3 \sqrt[3]{abc}}\)

podstawiając:

\(\displaystyle{ abc=x , ab+ac+bc=y}\)

otrzymamy:

(*) \(\displaystyle{ x^7\left( 9-3y+x\right)^3 \le 1}\)

przy warunku:

\(\displaystyle{ y \ge 3 \sqrt[3]{x}}\)

przekształcając (*) otrzymamy:

\(\displaystyle{ y \ge \frac{1}{3}x+3- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^7} }}\)

uwzględniając warunek, wystarczy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{x} \ge \frac{1}{3}x+3- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^7} }}\)

Czyli wystarczy zbadać funkcję:

\(\displaystyle{ f(x)=3 \sqrt[3]{x}-\frac{1}{3}x-3+\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^7} }}\)

Pamiętajmy, że.: \(\displaystyle{ x=abc \le 1 , x=abc >0}\)

Co też łatwo wykazać...

bo:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le \frac{a+b+c}{3}=1}\)

więc:

\(\displaystyle{ x=abc \le 1}\)

Ale nasza funkcja co łatwo sprawdzić jest w tym przedziale większa lub równa zero...

Posłużę się wolframem:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D3%28x%29%5E%281%2F3%29-1%2F3%28x%29-3%2B1%2F%283%28x%29%5E%287%2F3%29%29

cnd...

[Premislav]

korzystając z tego, że:

\(\displaystyle{ ab+ac+bc \ge 3 \sqrt[3]{abc}}\)

Z czego wynika ta nierówność? Ja tylko widzę
\(\displaystyle{ ab+ac+bc\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\), a taka nierówność jest słabsza, ponieważ w świetle założeń mamy \(\displaystyle{ abc\le 1}\).
Trochę to zmieni… ale może da się to uratować.

[arek1357]

oj fakt nie zauważyłem...

Jak na razie nie da się tego uratować...-- 30 kwietnia 2019, 13:26 --Po pewnych przemyśleniach:

przepiszmy:

\(\displaystyle{ \left( abc\right)^7\left[ 9-3\left( ab+ac+bc\right)+abc \right]^3 \le 1}\)

po podstawieniu:

\(\displaystyle{ a+b+c=3}\)

\(\displaystyle{ c=3-a-b}\)

\(\displaystyle{ (ab)^7\left( 3-a-b\right)^7\left[ 9-9(a+b)-3(a+b)^2-ab(a+b)\right]^3 \le 1}\)

znowu sobie podstawmy:

\(\displaystyle{ x=ab , y=a+b}\)

po tym podstawieniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ x^7\left( 3-y\right)^7\left( 9-9y-3y^2-xy\right)^3 \le 1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ y \ge 2 \sqrt{x}}\)

czyli nasza lewa będzie mniejsza lub równa od:

\(\displaystyle{ x^7\left( 3-2 \sqrt{x}\right)^7\left( 9-18 \sqrt{x}-12x-2x \sqrt{3} \right)^3 \le 1}\)

I to raczej zachodzi bo nasze \(\displaystyle{ x=ab}\)

\(\displaystyle{ x \le \frac{y^2}{4} \le \frac{9}{4}=2,25}\)

a w tym przedziale dla.: \(\displaystyle{ x}\) nierówność zachodzi co można sprawdzić na wolframie...