różnica sześcianów

[Jmoriarty]

Jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ a- \frac{1}{a}=3 \sqrt{2}}\), to jak najprościej obliczyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a ^{3} - \frac{1}{a ^{3} }}\)?

Spróbowałem z różnicą sześcianów. Rozpisałem \(\displaystyle{ a ^{3} - \frac{1}{a ^{3} }=\left( a- \frac{1}{a}\right) \left( a ^{2}+a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}}\right)}\). W pierwszym nawiasie zastosowałem podaną równość i zostało \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2} \left( a^{2}+1+ \frac{1}{a^{2}}\right)}\). Teraz chciałem podstawić policzone przeze mnie wcześniej pierwiastki podanego równania, które wynoszą \(\displaystyle{ a _{1}= \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{22} }{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}=\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{22} }{2}}\). Wystarczy podstawić obojętnie który i wyjdzie rozwiązanie, jednak nadal nie czuje, że to ta droga, którą powinienem iść i że można to jeszcze uprościć.

[Tmkk]

Zobacz, że jeśli \(\displaystyle{ a- \frac{1}{a}=3 \sqrt{2}}\) to podnosząc do kwadratu dostaniesz \(\displaystyle{ a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 = 18}\)

[Jmoriarty]

Faktycznie. Właśnie o coś takiego mi chodziło, jednak nie mogłem tego zauważyć.
Dziękuję!