Niech \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ x,y,z \ge 0}\) takie że \(\displaystyle{ a+b+c=x+y+z=3}\).
Wykaż że \(\displaystyle{ ax+by+cz \le 3+ |a-y| +|b-z| +|c-x|}\)
nierówność z wartościami bezwzględnymi
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: nierówność z wartościami bezwzględnymi
któreś dwie z liczb \(\displaystyle{ a-y, b-z, c-x}\) mają ten sam znak; ze względu na cykliczność nierówności możemy przyjąć bez ograniczenia ogólności rozumowania, że są to \(\displaystyle{ a-y, b-z}\)
wówczas \(\displaystyle{ |a-y|+|b-z|=|a-y+b-z|=|c-x|}\), więc wystarczy dowieść, że
\(\displaystyle{ ax+by+cz\le 3+2|c-x|}\)
mamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^\circ \ c\ge x}\), wtedy \(\displaystyle{ a\le y}\) i \(\displaystyle{ b\le z}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \ c\le x}\), wtedy \(\displaystyle{ a\ge y}\) i \(\displaystyle{ b\ge z}\)
w każdym z nich ujednoradniamy nierównosć, aby uwolnić się od krępującego warunku \(\displaystyle{ a+b+c=3=x+y+z}\):
\(\displaystyle{ 3(ax+by+cz) \le (a+b+c)(x+y+z) \pm 2(c(x+y+z)-(a+b+c)x) = (a+b+c)(x+y+z) \pm 2(cy+cz-ax-bx)}\)
to jest nierówność liniowa ze względu na każdą ze zmiennych, więc wystarczy odpowiednio posprawdzać przypadki brzegowe (np. w pierwszym przypadku wystarczy posprawdzać \(\displaystyle{ (a,b,c)\in \{(0,0,x), (y,0,x), (0,z,x), (y,z,x) \}}\) oraz że koeficjenty przy \(\displaystyle{ c}\) są takie jak trzeba w każdym z czterech przypadków \(\displaystyle{ (a,b) \in \{(0,0), (0,z), (y,0), (y,z)\}}\))
wówczas \(\displaystyle{ |a-y|+|b-z|=|a-y+b-z|=|c-x|}\), więc wystarczy dowieść, że
\(\displaystyle{ ax+by+cz\le 3+2|c-x|}\)
mamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^\circ \ c\ge x}\), wtedy \(\displaystyle{ a\le y}\) i \(\displaystyle{ b\le z}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \ c\le x}\), wtedy \(\displaystyle{ a\ge y}\) i \(\displaystyle{ b\ge z}\)
w każdym z nich ujednoradniamy nierównosć, aby uwolnić się od krępującego warunku \(\displaystyle{ a+b+c=3=x+y+z}\):
\(\displaystyle{ 3(ax+by+cz) \le (a+b+c)(x+y+z) \pm 2(c(x+y+z)-(a+b+c)x) = (a+b+c)(x+y+z) \pm 2(cy+cz-ax-bx)}\)
to jest nierówność liniowa ze względu na każdą ze zmiennych, więc wystarczy odpowiednio posprawdzać przypadki brzegowe (np. w pierwszym przypadku wystarczy posprawdzać \(\displaystyle{ (a,b,c)\in \{(0,0,x), (y,0,x), (0,z,x), (y,z,x) \}}\) oraz że koeficjenty przy \(\displaystyle{ c}\) są takie jak trzeba w każdym z czterech przypadków \(\displaystyle{ (a,b) \in \{(0,0), (0,z), (y,0), (y,z)\}}\))