nierówność z czterema niewiadomymi

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d>0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c+d=4.}\)
Pokaż że
\(\displaystyle{ \Big( \frac{a}{b}\Big)^2+\Big( \frac{b}{c}\Big)^2+\Big( \frac{c}{d} \Big)^2+\Big( \frac{d}{a}\Big)^2 \ge a^2+b^2+c^2+d^2}\)

[Premislav]

błędne rozwiązanie, nie czytać:    

Zacznijmy od nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela:
\(\displaystyle{ \Big( \frac{a}{b}\Big)^2+\Big( \frac{b}{c}\Big)^2+\Big( \frac{c}{d} \Big)^2+\Big( \frac{d}{a}\Big)^2=\\= \frac{a^4}{a^2b^2} + \frac{b^4}{b^2c^2} + \frac{c^4}{c^2a^2} + \frac{d^4}{d^2a^2}\\ \ge \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2}}\)

Wystarczy więc wykazać w dodatnich sumujących się do \(\displaystyle{ 4}\), że:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2\ge (ab)^2+(bc)^2+(cd)^2+(da)^2\\ a^2+c^2+b^2+d^2\ge \left( a^2+c^2\right)\left( b^2+d^2\right) \ (*)}\)
Zauważmy, że obie strony nierówności się nie zmienią, gdy zastąpimy liczby \(\displaystyle{ a,c}\) liczbami
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}, \ \sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}}\) i podobnie obie strony nierówności \(\displaystyle{ (*)}\) się nie zmienią, gdy liczby \(\displaystyle{ b,d}\) zastąpimy liczbami
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{b^2+d^2}{2}}, \ \sqrt{\frac{b^2+d^2}{2}}}\).
Wystarczy więc rozważyć przypadek \(\displaystyle{ a=c, \ b=d}\), czyli w dodatnich spełniających \(\displaystyle{ a+b=2}\) wykazać, że:
\(\displaystyle{ 2a^2+2b^2\ge 4a^2b^2\\a^2+b^2\ge 2a^2b^2\\(a-b)^2+2ab(1-ab)\ge 0}\)
a to jest oczywiste, gdyż \(\displaystyle{ ab\le \left( \frac{a+b}{2}\right)^2=1}\).

[bosa_Nike]

Wystarczy więc wykazać w dodatnich sumujących się do \(\displaystyle{ 4}\), że:
\(\displaystyle{ a^2+c^2+b^2+d^2\ge \left( a^2+c^2\right)\left( b^2+d^2\right)}\)

Nie da rady. Spróbuj \(\displaystyle{ a=0.1,\ b=c=d=1.3}\).
Ponadto, jeżeli nie homogenizujesz, to musisz zapewnić, żeby to nowe zmienne spełniały warunek początkowy. Swój warunek możesz wprowadzić tylko wtedy, gdy nierówność jest jednorodna.

[Premislav]

O rany, ale porażka, dzięki za zauważenie tego.-- 15 kwi 2019, o 13:26 --W ogóle nie wiem, jak mogłem taką głupotę palnąć, chyba na dziś wystarczy.