nierówność i potęgi

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ x,y>0,x+y=1,a,b>1}\). Wykaz że
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+a}+\frac{y}{1+b} \ge \frac{1}{1+a^xb^y}}\)

[Premislav]

Ukryta treść:    

Funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{1+e^t}}\) jest wypukła w \(\displaystyle{ \RR^+}\), co można sprawdzić, licząc jej drugą pochodną,

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=second+derivative+of+1%2F%281%2Be%5Et%29

Zwróćmy uwagę, że skoro \(\displaystyle{ a,b>1}\), to \(\displaystyle{ \ln a>0}\) i \(\displaystyle{ \ln b>0}\).
Zatem na mocy nierówności Jensena otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+a}+\frac{y}{1+b}=xf\left( \ln a\right)+yf\left( \ln b\right)\ge f\left( x\ln a+y\ln b\right)=\\=\frac{1}{1+a^xb^y}}\)