podwójna nierównosc

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), wykaz
\(\displaystyle{ 1\leq\left(\frac{a}{a+b} \right) ^2+\left(\frac{b}{b+c} \right) ^2+\frac{c}{c+a}<2.}\)

[Zahion]

Ograniczenie górne dość śmiesznie:
Oczywiście zachodzi
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{a+b} \right) ^2+\left(\frac{b}{b+c} \right) ^2+\frac{c}{c+a} < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}}\).
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ S_{1} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}}\)
\(\displaystyle{ S_{1} = \frac{b}{a+b} + \frac{c}{b+c} + \frac{a}{c+a}}\)
Mamy \(\displaystyle{ S_{1} + S_{2} = 3}\). Załóżmy ponadto bez straty ogółu, że \(\displaystyle{ S_{1} \ge S_{2}}\), wtedy dla pewnego \(\displaystyle{ M > x > 0}\) jest \(\displaystyle{ S_{1} = \frac{3}{2} + x}\) oraz \(\displaystyle{ S_{2} = \frac{3}{2} - x}\), spróbujemy wyznaczyć jakieś \(\displaystyle{ M}\).
Otóż zachodzi \(\displaystyle{ a < a + b \Rightarrow a + c < a + b + c \Rightarrow \frac{1}{c+a} > \frac{1}{a+b+c} \Rightarrow \frac{c}{c+a} > \frac{c}{a+b+c}}\), skąd też \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} > 1}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{3}{2} - x > 1 \Rightarrow \frac{1}{2} > x}\) czyli \(\displaystyle{ S_{1} \le S_{2} = \frac{3}{2} + x < 2}\)

[Premislav]

^Chyba po pierwszym szacowaniu szybciej byłoby przyjąć bez straty ogólności, że np. \(\displaystyle{ c=\min\left\{ a,b,c\right\}}\). W wyjściowej nierówności nie możemy tak zrobić, ale skoro już sprowadziliśmy szacowanie z góry do nierówności dla cyklicznej sumy, to możemy.

Nieco trudniejszy jest dowód nierówności
\(\displaystyle{ 1\leq\left(\frac{a}{a+b} \right) ^2+\left(\frac{b}{b+c} \right) ^2+\frac{c}{c+a}}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{a}{c+a}\le\left(\frac{a}{a+b} \right) ^2+\left(\frac{b}{b+c} \right) ^2\\ a(a+b)^2(b+c)^2\le a^2(c+a)(b+c)^2+b^2(c+a)(a+b)^2\\2a^2b^2 c+ab^2c^2\le a^3 b^2 + a^2 c^3 + b^4 c \ (*)}\)
ale z AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ b^4 c+c^3a^2\ge 2ab^2c^2\\a^3b^2+ab^2c^2\ge 2a^2b^2c}\)
Dodajemy stronami, skracamy co się da i otrzymujemy \(\displaystyle{ (*)}\), co kończy dowód.

[timon92]

\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\frac{c}{c+a}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\\ <\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{c+a+b}=2}\)