Nierówność z LXI OM - sprawdzenie rozwiązania

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Nierówność z LXI OM - sprawdzenie rozwiązania

Post autor: Premislav »

Niech będzie pochwalony Jezus Chrystus i Maryja zawsze dziewica.*

Chciałbym, żeby ktoś sprawdził moje rozwiązanie zadania 8. z I etapu LXI Olimpiady Matematycznej.
Treść:
Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) i liczby całkowitej \(\displaystyle{ n\ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n+1}}{a+b}\ge \left(\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b}
\right) \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}}\)
rozwiązanie:    
Jak powiedział znany agent specnazu, strzelec z Kijowa i z Dubrowki, niejaki Światosław G, „Może być?"
*Tę wstawkę wziąłem z Radia Marynata, mojego ulubionego programu kulinarnego. Fajne, nie?

Dlatego proszę o sprawdzenie, że dość szybko mi poszła ta nierówność (nie czytałem rozwiązania wzorcowego jbc), a podobno została ona uznana za nietrywialną, więc prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest wysokie.

-- 8 kwi 2019, o 22:35 --

A tak z totalnie innej beczki, kminił ktoś to niesymetryczne szkaradzieństwo: 439764.htm
Ostatnio zmieniony 3 cze 2019, o 23:37 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Nierówność z LXI OM - sprawdzenie rozwiązania

Post autor: Zahion »

Jakby powiedział pewien (prawdopodobnie) gdańszczanin „Elegancko".
Nie widzę błędu.
Jest to zadanie z LXI OM, pierwszy etap, uznane jako jedno z najtrudniejszych na tym etapie. Idzie też z ujednorodnienia i Jensena.

Pamiętam, że chwile czasu na nią poświęciłem - kiedyś wrzuciłem „podobną" nierówność na forum, ale jednak symetryczną. Pierwsze co przyszło mi do głowy to

Kod: Zaznacz cały

https://archom.ptm.org.pl/?q=node/183
i obrać ten kierunek przy odpowiednich przekształceniach, ale symetrii tutaj nie ma i nie przyniosło to żadnego rezultatu. Może coś na dniach mnie oświeci.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Nierówność z LXI OM - sprawdzenie rozwiązania

Post autor: Premislav »

Dzięki za sprawdzenie!
ODPOWIEDZ