Maksima z układem

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będą takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2 +5xy +3y^2=2 \\ 6x^2+ 8xy +4y^2 =3 \end{cases}}\)
Wyznaczyć max i min wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2}\)

[Premislav]

Mnożymy stronami pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 3}\), drugie równanie przez \(\displaystyle{ 2}\), odejmujemy stronami pierwsze od drugiego i dostajemy
\(\displaystyle{ 6x^2+xy-y^2=0 \ (*)}\)
Widzimy, że dla \(\displaystyle{ y=0}\) wyjściowy układ nie jest spełniony, bo wówczas musiałoby być jednocześnie \(\displaystyle{ 2x^2=2, \ 6x^2=3}\), co jest wykluczone, a dalej dzielimy równanie
\(\displaystyle{ (*)}\) stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\), podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac x y}\), przez co otrzymujemy
\(\displaystyle{ 6t^2+t-1=0}\) czyli \(\displaystyle{ \left( 3t-1\right)\left( 2t+1\right)=0}\), stąd
\(\displaystyle{ \frac x y=\frac 1 3\vee \frac x y=-\frac 1 2}\).
1) Jeżeli \(\displaystyle{ \frac x y=\frac 1 3}\), czyli \(\displaystyle{ y=3x}\), to układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2 +5xy +3y^2=2 \\ 6x^2+ 8xy +4y^2 =3 \end{cases}}\)
sprowadza się do
\(\displaystyle{ x^2=\frac{1}{22}, \ y^2=\frac{9}{22}}\)
i wtedy \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{10}{22}=\frac{5}{11}}\)


2) Jeżeli \(\displaystyle{ \frac x y=-\frac 1 2}\), tj. \(\displaystyle{ y=-2x}\), to układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2 +5xy +3y^2=2 \\ 6x^2+ 8xy +4y^2 =3 \end{cases}}\)
sprowadza się do
\(\displaystyle{ x^2=\frac 1 2, \ y^2=2}\)
i wtedy \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac 1 2+2=\frac 5 2}\).

Podsumowując, przy zadanych warunkach (których nie będę dwa tysiące sto trzydziesty siódmy raz przepisywać) \(\displaystyle{ \max(x^2+y^2)=\frac 5 2, \ \min(x^2+y^2)=\frac 5 {11}}\).
Może nie jest to ładne rozwiązanie, ale skuteczne.