Dane są liczby dodatnie a,b i c. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca}\)
Proszę o pomoc, wiem jedynie że muszę tu zastosowac średnią geometryczną i arytmetyczną, ale nie wiem jak się do tego zabrać
Dane są liczby dodatnie a,b i c
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dane są liczby dodatnie a,b i c
Lemat: dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b>0}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b}\ge ab+a^2-b^2 \ (*)}\)
Dowód lematu: równoważnie
\(\displaystyle{ a^3+b^3\ge ab(a+b)\\(a+b)(a^2-ab+b^2)\ge ab(a+b)\\(a-b)^2(a+b)\ge 0}\)
a to ostatnie jest już oczywiste.
Dodajesz stronami takie nierówności postaci \(\displaystyle{ (*)}\) dla liczb \(\displaystyle{ (a,b), \ (b,c)}\) i \(\displaystyle{ (c,a)}\) i po zadaniu.
-- 19 mar 2019, o 23:13 --
Można również i tak:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a}=\frac{(a^2)^2}{ab}+\frac{(b^2)^2}{bc}+\frac{(c^2)^2}{ca}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}}\)
z nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela, więc wystarczy wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\ge ab+bc+ca}\) w dodatnich, a to jest równoważne (po jakichś prostych przekształceniach) nierówności
\(\displaystyle{ \frac 1 4 \left((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\ge 0}\)
czy coś w ten deseń.
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b}\ge ab+a^2-b^2 \ (*)}\)
Dowód lematu: równoważnie
\(\displaystyle{ a^3+b^3\ge ab(a+b)\\(a+b)(a^2-ab+b^2)\ge ab(a+b)\\(a-b)^2(a+b)\ge 0}\)
a to ostatnie jest już oczywiste.
Dodajesz stronami takie nierówności postaci \(\displaystyle{ (*)}\) dla liczb \(\displaystyle{ (a,b), \ (b,c)}\) i \(\displaystyle{ (c,a)}\) i po zadaniu.
-- 19 mar 2019, o 23:13 --
Można również i tak:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a}=\frac{(a^2)^2}{ab}+\frac{(b^2)^2}{bc}+\frac{(c^2)^2}{ca}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}}\)
z nierówności Cauchy'ego-Schwarza w formie Engela, więc wystarczy wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}\ge ab+bc+ca}\) w dodatnich, a to jest równoważne (po jakichś prostych przekształceniach) nierówności
\(\displaystyle{ \frac 1 4 \left((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\ge 0}\)
czy coś w ten deseń.
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dane są liczby dodatnie a,b i c
A jeżeli bardzo Ci zależy na średnich, to
\(\displaystyle{ \frac{5a^{4}c + 6ab^{4} +2bc^{4}}{13} \ge a^{2}b^{2}c}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a^{4}c + 5ab^{4} +6bc^{4}}{13} \ge ab^{2}c^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{6a^{4}c + 2ab^{4} +5bc^{4}}{13} \ge a^{2}bc^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5a^{4}c + 6ab^{4} +2bc^{4}}{13} \ge a^{2}b^{2}c}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a^{4}c + 5ab^{4} +6bc^{4}}{13} \ge ab^{2}c^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{6a^{4}c + 2ab^{4} +5bc^{4}}{13} \ge a^{2}bc^{2}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Dane są liczby dodatnie a,b i c
Zawsze zanim zdążę rozwiązać odpowiedni układ równań, to już mnie ktoś wyprzedzi.
O tym, jak znajdować takie lematy ze średnich, pisano np. tutaj: 223389.htm
Polecam autorowi tematu przeczytać ten wątek, w szczególności posty Sylwka i Marcinka665.
O tym, jak znajdować takie lematy ze średnich, pisano np. tutaj: 223389.htm
Polecam autorowi tematu przeczytać ten wątek, w szczególności posty Sylwka i Marcinka665.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Dane są liczby dodatnie a,b i c
Ja, jak zazwyczaj zresztą, zaproponuję pożyczenie czegoś.
\(\displaystyle{ \begin{aligned}\left(\frac{a^3}{b}+ab\right)+\left( \frac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\frac{c^3}{a}+ca\right)&\ge 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\\&=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\\&\ge 2(ab+bc+ca)\end{aligned}}\)
\(\displaystyle{ \begin{aligned}\left(\frac{a^3}{b}+ab\right)+\left( \frac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\frac{c^3}{a}+ca\right)&\ge 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\\&=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\\&\ge 2(ab+bc+ca)\end{aligned}}\)