Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b , b \neq c , c \neq a}\) to

\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \frac{1}{abc}}\)

Uprzedzam od razu, że nie chce żebyście to zrobili za mnie, lecz o małą podpowiedź, zapisałem lewą stronę następująco:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)}}\)

Tyle, że nie mam pomysłu co dalej, mnożyć to czy jak?

Musisz teraz przemnożyć tę równość (z tak zapisaną lewą stroną, bo będzie łatwiej) przez \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\), no i potem przeliczyć obydwie strony, wyjdzie to samo.

Ja bym pałował od razu pierwszą równość(bez takiego przekształcania lewej strony) sprowadzając do wspólnego mianownika, szybko to wychodzi, czasem metoda siłowa jest skuteczniejsza niż szukanie alternatywnego rozwiązania