Wykaż, że jeżeli liczby

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Wykaż, że jeżeli liczby

Post autor: Michal2115 » 14 mar 2019, o 22:29

Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są różne od \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b , b \neq c , c \neq a}\) to

\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \frac{1}{abc}}\)

Uprzedzam od razu, że nie chce żebyście to zrobili za mnie, lecz o małą podpowiedź, zapisałem lewą stronę następująco:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)}}\)

Tyle, że nie mam pomysłu co dalej, mnożyć to czy jak?
Ostatnio zmieniony 14 mar 2019, o 22:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 12 razy

Wykaż, że jeżeli liczby

Post autor: Blazo2000 » 14 mar 2019, o 22:57

Musisz teraz przemnożyć tę równość (z tak zapisaną lewą stroną, bo będzie łatwiej) przez \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(b-c)}\), no i potem przeliczyć obydwie strony, wyjdzie to samo.

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Wykaż, że jeżeli liczby

Post autor: Rafsaf » 14 mar 2019, o 23:01

Ja bym pałował od razu pierwszą równość(bez takiego przekształcania lewej strony) sprowadzając do wspólnego mianownika, szybko to wychodzi, czasem metoda siłowa jest skuteczniejsza niż szukanie alternatywnego rozwiązania

ODPOWIEDZ