Witam.
Czy prawdziwa jest następująca nierówność?:
\(\displaystyle{ (a _{1}+b _{1}) ^{2}+(a _{2}+b _{2}) ^{2}+(a _{3}+b _{3}) ^{2}+(a _{3}+b _{3}) ^{2} \ge ( \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}-\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}} ) ^{2}}\)
Gdzie podane liczby są rzeczywiste.
Jeśli nie to czy jest jakieś uogólnienie nierówności ?:
\(\displaystyle{ (a _{1}+b _{1}) ^{2}+(a _{2}+b _{2}) ^{2} \ge ( \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}-\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}} ) ^{2}}\)
Pozdrawiam.
Nierówność z ośmioma niewiadomymi.
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Nierówność z ośmioma niewiadomymi.
jest prawdziwa po poprawieniu indeksów:
\(\displaystyle{ (a _{1}+b _{1}) ^{2}+(a _{2}+b _{2}) ^{2}+(a _{3}+b _{3}) ^{2}+(a _{\color{red}4}+b _{\color{red}4}) ^{2} \ge ( \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}-\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}} ) ^{2}}\)
a jest to równoważne nierówności Schwarza: \(\displaystyle{ \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}} \ge a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4}\)
\(\displaystyle{ (a _{1}+b _{1}) ^{2}+(a _{2}+b _{2}) ^{2}+(a _{3}+b _{3}) ^{2}+(a _{\color{red}4}+b _{\color{red}4}) ^{2} \ge ( \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}-\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}} ) ^{2}}\)
a jest to równoważne nierówności Schwarza: \(\displaystyle{ \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}} \ge a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4}\)