Nierówność n zmiennych

[Rokush]

Hejka, mam takie zadanie: Wykazać, że dla liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ p_{1} , p_{2} ..., p_{n} ,q_{1} , q_{2} ... q_{n}}\) spełniających \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} q_{k} = \sum_{k=1}^{n} p _{k}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} p_{k} ^{p _{k} } \ge \prod_{k=1}^{n} q_{k} ^{p _{k} }}\)
I starałem się próbować dowodzić indukcyjnie a nawet w desperacji liczyć ekstremum funkcji \(\displaystyle{ 2n}\) zmiennych ale żadna metoda nie zadziałała.-- 9 mar 2019, o 21:08 --No własnie to wszystkie założenia i tyle podobno wystarczy, mamy n dodatnich liczb rzeczywistych o takiej samej sumie. Może po prostu tak jak ja na początku nie zauważyłeś że zarówno po prawo jak i lewo w wykładniku są \(\displaystyle{ p _{k}}\), tylko podstawy są różne

[Premislav]

Sorry, czytać nie umiem, jest wszystko dobrze.
Zlogarytmujmy tezę stronami, a otrzymamy równoważną nierówność:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}p_k \ln p_k\ge \sum_{k=1}^{n}p_k\ln q_k}\)
Zauważmy, że w dodatnich zachodzi następująca nierówność:
\(\displaystyle{ \ @ \ x\ln x+y-x\ge x\ln y}\)
Równoważnie bowiem (po trywialnych przekształceniach):
\(\displaystyle{ \ln \frac y x\le \frac y x-1}\)
a tu widzimy znaną nierówność w dodatnich:
\(\displaystyle{ \ln t\le t-1}\), której dowód to prosty rachunek różniczkowy (zostawiam to jako ćwiczenie dla Ciebie, w razie problemów napisz).
W nierówności \(\displaystyle{ \ @}\) przyjmij \(\displaystyle{ x=p_k, \ y=q_k, \ k=1\ldots n}\) i dodaj stronami. Po herbacie.

[a4karo]

Albo do nierówności \(\displaystyle{ x\log x\geq x-1}\) wstawiamy \(\displaystyle{ x=p_i/q_i}\), mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ q_i}\) i dodajemy.-- 10 mar 2019, o 00:48 --No to pokażcie, że gdy \(\displaystyle{ 0<\alpha\leq 1}\) i \(\displaystyle{ \sum_i p_i^\alpha q_i^{1-\alpha}=\sum_i q_i}\), to zachodzi ta sama nierówność co powyżej.

[timon92]

a4karo, robimy dokładnie tak samo, tylko zamiast wstawiać \(\displaystyle{ p_i/q_i}\) wstawiamy \(\displaystyle{ (p_i/q_i)^\alpha}\)

[a4karo]

@timon92

\(\displaystyle{ (p_i/q_i)^\alpha \log (p_i/q_i)^\alpha\geq (p_i/q_i)^\alpha-1\\
\alpha p_i^\alpha \log (p_i/q_i)\geq p_i^\alpha q_i^{1-\alpha}-q_i^\alpha\\
\Rightarrow \\
\sum p_i^\alpha\log p_i\geq \sum q_i^\alpha \log q_i}\)

A w zadaniu miało być bez wykładnika \(\displaystyle{ \alpha}\).

[timon92]

a4karo, słuszna uwaga... pewnie trzeba użyć innej nierówności typu \(\displaystyle{ \frac 1 \alpha x^{1/\alpha} \log x \ge x - 1}\) i tam wstawić \(\displaystyle{ (p_i/q_i)^\alpha}\), ale zdaje się, że tego typu nierówności nie są prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ x>0}\)

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2logx+-+x+%2B+1%3E0