Dowieść ,że liczba jest niewymierna

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Dowieść ,że liczba jest niewymierna

Post autor: kacpersowinski »

Hej piszę bo po prostu nie wiem czy dobrze robię dowód na niewymierność liczby

Zadanie brzmi "Dowieść ,że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest niewymierna"

Dowód nie wprost. Zakładam ,ze liczba \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest wymierna

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} } = \frac{a}{b}}\) oraz NWD(a,b)=1 oraz \(\displaystyle{ b \neq 0}\)

Mamy

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} } = \frac{a}{b}}\) - podnoszę do kwadratu

\(\displaystyle{ \frac{3}{5} = \frac{ a^{2} }{ b^{2} }}\) - mnożę razy \(\displaystyle{ b^{2}}\)

Wychodzę na coś takiego \(\displaystyle{ 5a^{2} = 3b ^{2}}\)

Czyli z tego wiemy ,że

\(\displaystyle{ 5a ^{2}}\) jest podzielne na 3
\(\displaystyle{ a^{2}}\) jest podzielne na 3
\(\displaystyle{ a}\) jest podzielne na 3

Więc \(\displaystyle{ a=3k}\) gdzie k należy do zbioru liczb całkowitych

I wstawiam to do poprzedniego równania

\(\displaystyle{ 5 * 9k^{2} = 3b^{2}}\)

Stąd mam ,że \(\displaystyle{ 5 \cdot 3k^{2} = b^{2}}\)

i wychodzi ,że b jest podzielne na 3

Więc mamy sprzeczność z NWD

Dobrze to zrobiłem? Jeśli nie mogę prosić o jakieś rady:)?
Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Dowieść ,że liczba jest niewymierna

Post autor: Rafsaf »

Jest ok, można ciut inaczej:
Dojść do

\(\displaystyle{ 5a^{2} = 3b ^{2}}\)

a potem
Zauważmy, że porównując rozkład na czynniki pierwsze prawej i lewej strony równania, niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są lub nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), mamy \(\displaystyle{ 5a^{2}}\) w rozkładzie na cz. pierwsze ma parzystą ilość trójek, zaś \(\displaystyle{ 3b ^{2}}\) ma nieparzystą ilość trójek. A jako że rozkład jest jednoznaczny, a nam wyszło że te liczby są równe(czyli ich rozkłady identyczne), mamy szukaną sprzeczność.

Edit
Albo jeszcze jeden sposób mi się przypomniał(tu na forum były takie tematy), można skorzystać z Twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego.
Rozważając wielomian \(\displaystyle{ W(x)=5x ^{2}-3}\) widzimy że \(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest jego pierwiastkiem, zaś z Tw wyżej(powinieneś znać, możesz też poszukać w sieci sforumułowania/dowodu) wynika że nie jest to pierwiastek wymierny.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2019, o 21:27 przez Rafsaf, łącznie zmieniany 1 raz.
kacpersowinski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Dowieść ,że liczba jest niewymierna

Post autor: kacpersowinski »

Super ,dzięki !
ODPOWIEDZ