Hej piszę bo po prostu nie wiem czy dobrze robię dowód na niewymierność liczby
Zadanie brzmi "Dowieść ,że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest niewymierna"
Dowód nie wprost. Zakładam ,ze liczba \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest wymierna
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} } = \frac{a}{b}}\) oraz NWD(a,b)=1 oraz \(\displaystyle{ b \neq 0}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{3}{5} } = \frac{a}{b}}\) - podnoszę do kwadratu
\(\displaystyle{ \frac{3}{5} = \frac{ a^{2} }{ b^{2} }}\) - mnożę razy \(\displaystyle{ b^{2}}\)
Wychodzę na coś takiego \(\displaystyle{ 5a^{2} = 3b ^{2}}\)
Czyli z tego wiemy ,że
\(\displaystyle{ 5a ^{2}}\) jest podzielne na 3
\(\displaystyle{ a^{2}}\) jest podzielne na 3
\(\displaystyle{ a}\) jest podzielne na 3
Więc \(\displaystyle{ a=3k}\) gdzie k należy do zbioru liczb całkowitych
I wstawiam to do poprzedniego równania
\(\displaystyle{ 5 * 9k^{2} = 3b^{2}}\)
Stąd mam ,że \(\displaystyle{ 5 \cdot 3k^{2} = b^{2}}\)
i wychodzi ,że b jest podzielne na 3
Więc mamy sprzeczność z NWD
Dobrze to zrobiłem? Jeśli nie mogę prosić o jakieś rady:)?
Dowieść ,że liczba jest niewymierna
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Dowieść ,że liczba jest niewymierna
Jest ok, można ciut inaczej:
Dojść do
\(\displaystyle{ 5a^{2} = 3b ^{2}}\)
a potem
Zauważmy, że porównując rozkład na czynniki pierwsze prawej i lewej strony równania, niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są lub nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), mamy \(\displaystyle{ 5a^{2}}\) w rozkładzie na cz. pierwsze ma parzystą ilość trójek, zaś \(\displaystyle{ 3b ^{2}}\) ma nieparzystą ilość trójek. A jako że rozkład jest jednoznaczny, a nam wyszło że te liczby są równe(czyli ich rozkłady identyczne), mamy szukaną sprzeczność.
Edit
Albo jeszcze jeden sposób mi się przypomniał(tu na forum były takie tematy), można skorzystać z Twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego.
Rozważając wielomian \(\displaystyle{ W(x)=5x ^{2}-3}\) widzimy że \(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest jego pierwiastkiem, zaś z Tw wyżej(powinieneś znać, możesz też poszukać w sieci sforumułowania/dowodu) wynika że nie jest to pierwiastek wymierny.
Dojść do
\(\displaystyle{ 5a^{2} = 3b ^{2}}\)
a potem
Zauważmy, że porównując rozkład na czynniki pierwsze prawej i lewej strony równania, niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są lub nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), mamy \(\displaystyle{ 5a^{2}}\) w rozkładzie na cz. pierwsze ma parzystą ilość trójek, zaś \(\displaystyle{ 3b ^{2}}\) ma nieparzystą ilość trójek. A jako że rozkład jest jednoznaczny, a nam wyszło że te liczby są równe(czyli ich rozkłady identyczne), mamy szukaną sprzeczność.
Edit
Albo jeszcze jeden sposób mi się przypomniał(tu na forum były takie tematy), można skorzystać z Twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego.
Rozważając wielomian \(\displaystyle{ W(x)=5x ^{2}-3}\) widzimy że \(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{3}{5} }}\) jest jego pierwiastkiem, zaś z Tw wyżej(powinieneś znać, możesz też poszukać w sieci sforumułowania/dowodu) wynika że nie jest to pierwiastek wymierny.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2019, o 21:27 przez Rafsaf, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 26 lis 2018, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław