wyznacz najmniejszą wartość

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

wyznacz najmniejszą wartość

Post autor: Bratower » 5 mar 2019, o 22:19

1. Rozważamy wszystkie takie nieujemne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), których suma wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Ile jest równa różnica pomiędzy największa i najmniejszą wartością sumy \(\displaystyle{ x^3+y^3}\)?
2. Rozważamy liczby wymierne \(\displaystyle{ x,y,z}\) takie, że \(\displaystyle{ a=x+y+z}\) oraz \(\displaystyle{ b=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\) są liczbami całkowitymi. Wyznacz możliwą najmniejszą wartość \(\displaystyle{ a^2+b^2}\).
Proszę o jakieś wskazówki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

wyznacz najmniejszą wartość

Post autor: Zahion » 5 mar 2019, o 23:48

1. Z nierówności \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{x^{3}+y^{3}}{2} } \ge \frac{x+y}{2}}\) mamy, że najmniejsza wartość tej sumy to \(\displaystyle{ 2}\). Z drugiej strony mamy \(\displaystyle{ \left( x + y \right)^{3} \ge x^{3} + y^{3}}\), skąd największa to \(\displaystyle{ 8}\).
2. \(\displaystyle{ \left( x+y+z\right)^{2} + \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^{2} \ge 2\left( x+y+z\right)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \ge 2 \cdot 9 = 18}\), o ile mówimy o liczbach dodatnich.

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: wyznacz najmniejszą wartość

Post autor: Bratower » 6 mar 2019, o 00:16

Dzięki za odpowiedź Zahion, tylko w drugim powinno wyjść \(\displaystyle{ 1}\).

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Re: wyznacz najmniejszą wartość

Post autor: Zahion » 6 mar 2019, o 00:29

Rozumiem, to wynika z tego, że jednak nie chodzi o liczby dodatnie, ta nierówność jest prawdziwa wyłącznie przy tym założeniu.
Łatwo udowodnić, że obie liczby nie mogą być równe jednocześnie \(\displaystyle{ 0}\), tj. \(\displaystyle{ a = b = 0}\). Wynika to m.in. z tego, że wtedy \(\displaystyle{ 0 = \left( x + y + z \right)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xyz \cdot b = x^{2} + y^{2} + z^{2} \Rightarrow x = y = z = 0}\), co nie należy do dziedziny. Stąd co najmniej jedna z tych liczb całkowitych musi być różna od zera, więc jako, że jest całkowita to w wartości bezwzględnej nie może być mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\). A tutaj wystarczy znaleźć odpowiedni przykład i udowodnić, że wartość tej sumy może wynieść \(\displaystyle{ 1}\). Weź \(\displaystyle{ \left( x, y, z \right) =\left( -3, 3/2, 3/2 \right)}\)

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: wyznacz najmniejszą wartość

Post autor: Bratower » 6 mar 2019, o 00:51

\(\displaystyle{ x=-3, y=\frac{3}{2}, z=\frac{3}{2}\\ a=x+y+z=-3+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0\\ b=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=1\\ a^2+b^2=0^2+1^2=\boxed{1}}\)

ODPOWIEDZ