Nie tak łatwe potęgi

[Jkbk1467]

Witam! Mam problem z zadaniem: Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a,b>0 : a ^{2} +b ^{2}<\left(a ^{ \frac{3}{2} } +b^{ \frac{3}{2} \right) ^{ \frac{4}{3}}\) Proszę o dokładne wyjaśnienie dowodu.

[Zahion]

Podstaw dla czytelności \(\displaystyle{ x = a^{\frac{1}{2}}, y = b^{\frac{1}{2}}}\) i skorzystaj z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi

[albanczyk123456]

Jkbk1467,
Tak właściwie to też mam z tym problem. Chętnie zobaczę jakieś ciekawe rozwiązanie.

[Zahion]

W sumie średnie potęgowe z tego co widzę nie dają rezultatu.
W takim wypadku można podnieść do odpowiednich potęg i skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ x^{9}y^{3} + x^{9}y^{3} + x^{6}y^{6} \ge 3x^{8}y^{4}}\) i druga identycznie.
Naszedł mnie natomiast inny pomysł
Otóż:
\(\displaystyle{ \left( x^{3}+y^{3}\right)^{4}\left( x^{7}+y^{7}\right) = \left[ \left( x^{3}+y^{3}\right)^{3}\left( x^{7}+y^{7}\right) \right]\left( x^{3}+y^{3}\right) \ge \left( x^{4}+y^{4}\right)^{4}\left( x^{3}+y^{3}\right) = \left( x^{4}+y^{4}\right)^{3} \left[\left( x^{4}+y^{4}\right)\left( x^{3}+y^{3}\right) \right] \ge \left( x^{4}+y^{4}\right)^{3}\left( x^{7}+y^{7}\right)}\)
Pierwsza nierówność to Hoelder, tj.
\(\displaystyle{ \left( x^{3}+y^{3}\right) \left( x^{3}+y^{3}\right) \left( x^{3}+y^{3}\right) \left( x^{7}+y^{7}\right) \ge \left( x ^{ \frac{16}{4}} + y^{\frac{16}{4}} } \right)^{4}}\), druga dość oczywista.