Nie tak łatwe potęgi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy

Nie tak łatwe potęgi

Post autor: Jkbk1467 » 25 lut 2019, o 20:39

Witam! Mam problem z zadaniem: Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a,b>0 : a ^{2} +b ^{2}<\left(a ^{ \frac{3}{2} } +b^{ \frac{3}{2} \right) ^{ \frac{4}{3}}\) Proszę o dokładne wyjaśnienie dowodu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Nie tak łatwe potęgi

Post autor: Zahion » 25 lut 2019, o 21:00

Podstaw dla czytelności \(\displaystyle{ x = a^{\frac{1}{2}}, y = b^{\frac{1}{2}}}\) i skorzystaj z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi

albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Nie tak łatwe potęgi

Post autor: albanczyk123456 » 25 lut 2019, o 21:17

Jkbk1467,
Tak właściwie to też mam z tym problem. Chętnie zobaczę jakieś ciekawe rozwiązanie.

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Re: Nie tak łatwe potęgi

Post autor: Zahion » 25 lut 2019, o 21:39

W sumie średnie potęgowe z tego co widzę nie dają rezultatu.
W takim wypadku można podnieść do odpowiednich potęg i skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ x^{9}y^{3} + x^{9}y^{3} + x^{6}y^{6} \ge 3x^{8}y^{4}}\) i druga identycznie.
Naszedł mnie natomiast inny pomysł
Otóż:
\(\displaystyle{ \left( x^{3}+y^{3}\right)^{4}\left( x^{7}+y^{7}\right) = \left[ \left( x^{3}+y^{3}\right)^{3}\left( x^{7}+y^{7}\right) \right]\left( x^{3}+y^{3}\right) \ge \left( x^{4}+y^{4}\right)^{4}\left( x^{3}+y^{3}\right) = \left( x^{4}+y^{4}\right)^{3} \left[\left( x^{4}+y^{4}\right)\left( x^{3}+y^{3}\right) \right] \ge \left( x^{4}+y^{4}\right)^{3}\left( x^{7}+y^{7}\right)}\)
Pierwsza nierówność to Hoelder, tj.
\(\displaystyle{ \left( x^{3}+y^{3}\right) \left( x^{3}+y^{3}\right) \left( x^{3}+y^{3}\right) \left( x^{7}+y^{7}\right) \ge \left( x ^{ \frac{16}{4}} + y^{\frac{16}{4}} } \right)^{4}}\), druga dość oczywista.

ODPOWIEDZ