Uzasadnij, że jeżeli k,n są różnymi liczbami całkowitymi

[Michal2115]

Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ k,n}\) są różnymi liczbami całkowitymi, to liczba \(\displaystyle{ 2n(n-5)-(n-k)(n+k)-5n( \frac{2}{5} k-2)}\) jest podzielna przez różnicę liczb \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\).

Wymnożyłem to wyrażenie do prostszej postaci i wyszło mi \(\displaystyle{ n ^{2} +10n-2nk+k ^{2} -10}\)
i nie wiem co dalej

@kurcze, \(\displaystyle{ -5n( \frac{2}{5} k-2)}\)

[loitzl9006]

Prawdopodobnie popełniasz jakiś błąd przy wymnażaniu, ja otrzymuję

\(\displaystyle{ 2n(n-5)-(n-k)(n+k)-5n(\frac25k-2) = 2n^2-10n-n^2+k^2-2kn+10n=k^2-2kn+n^2=(k-n)^2 = (k-n)(k-n)}\).

Ponieważ liczba \(\displaystyle{ (k-n)}\) jest całkowita, to liczba \(\displaystyle{ (k-n)(k-n)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (k-n)}\).

[Jan Kraszewski]

Nie trzeba nawet wymnażać:

\(\displaystyle{ 2n(n-5)-(n-k)(n+k)-5n( \frac{2}{5} k-2)=2n(n-5)-(n-k)(n+k)-2n( k-5)=\\=2n(n-5-k+5)-(n-k)(n+k)=2n(n-k)-(n-k)(n+k)=(n-k)^2}\)

JK

[Michal2115]

Zgubiłem n przy 10 Teraz wszystko jest jasne, dziękuje loitzl9006 oraz Jan Kraszewski