rozwiąż równanie

[ibialy2]

\(\displaystyle{ \sqrt{2x+5}-1=x}\)
z tego równanie wychodzi że \(\displaystyle{ x=-2}\) lub \(\displaystyle{ x=2}\), ale w odpowiedziach jest tylko \(\displaystyle{ x=2}\)
nie rozumiem dlaczego?

[a4karo]

Pewnie dlatego, że pierwsza liczba nie spełnia równania. (wstaw, to się przekonasz)

Przeanalizuj swoje rozwiązanie, to znajdziesz miejsce gdzie mogą się wkrasc obce pierwiastki

[ibialy2]

no i dalej nie rozumiem dlaczego
wiem że jak podstawię za x=-2 to nie wyjdzie dobrze, ale dlaczego? D>-2,5 więc teoretycznie -2 mieści się w dziedzinie

[a4karo]

No to pokaż rozwiązanie

[ibialy2]

\(\displaystyle{ \sqrt{2x+5}=x+1}\)
\(\displaystyle{ 2x+5=x ^{2}+2x+1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-4=0}\)
\(\displaystyle{ x=-2 \vee x=2}\)

[a4karo]

A wiesz, że równanie
\(\displaystyle{ -\sqrt{2x+5}=x+1}\) da takie same rozwiązania?

Pomyśl dlaczego

[ibialy2]

niestety nwm

[a4karo]

NO to może przeanalizuj taki - prawie absurdalny- przykłąd:

\(\displaystyle{ x=5}\)
\(\displaystyle{ x^2=25}\)
\(\displaystyle{ x=5 \vee x=-5}\)

[ibialy2]

nwm co ty chcesz tu udowodnić ale nie pomagasz...

[a4karo]

Pokazuje Ci pewien mechanizm.
Odbiorze do kwadratu jest operacja, która może wprowadzić tzw obce pierwiastki. Dlatego po zakończeniu procesu trzeba je wyeliminować sprawdzając.-- 12 lut 2019, o 05:02 --Jak rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ \sqrt{2x+5}=x+1}\) to masz do czynienia z takim obrazkiem:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[very thin, gray] (-4,-4) grid (4,4);
\draw[->] (-4,0)--(4,0);
\draw[->] (0,-4)--(0,4);
\draw[red] plot [domain=-2.5:4,samples=100] (\x,{sqrt(2*\x+5)});
\draw[blue] plot [domain=-4:4] (\x,\x+1);
\end{tikzpicture}}\)

A po podniesieniu do kwadratu obrazek zmienia sie na taki
\(\displaystyle{ 2x+5=(x+1)^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[clip] (-6,-4) rectangle (6,10);
\draw[very thin,gray] (-4,-4) grid (4,10);
\draw[->] (-4,0)--(4,0);
\draw[->] (0,-4)--(0,10);
\draw[red] plot [domain=-4:4,samples=100] (\x,2*\x+5);
\draw[blue] plot [domain=-4:4] (\x,\x*\x+2*\x+1);
\end{tikzpicture}}\)

Jak widzisz, pojawił się drugi pierwiastek.
Skąd on się wziął? ano z rozwiązania równania
\(\displaystyle{ -\sqrt{2x+5}=x+1}\),
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[very thin, gray] (-4,-4) grid (4,4);
\draw[->] (-4,0)--(4,0);
\draw[->] (0,-4)--(0,4);
\draw[orange] plot [domain=-2.5:4,samples=100] (\x,{-sqrt(2*\x+5)});
\draw[blue] plot [domain=-4:4] (\x,\x+1);
\end{tikzpicture}}\)

które po podniesieniu do kwadratu daje to samo równanie, co równanie wyjściowe

[Dilectus]

a4karo, pięknie to wytłumaczyłeś.

[Belf]

\(\displaystyle{ \sqrt{2x+5} = x+ 1}\)
Pomijając założenie: \(\displaystyle{ 2x + 5 \ge 0}\), założenie:\(\displaystyle{ x+1 \ge 0}\),eliminuje rozwiąznie:\(\displaystyle{ x = -2}\)