Matematyka.pl

zad 1 oblicz
\(\displaystyle{ {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} + 2}} - {\sqrt[3]{{\sqrt[2]{5}} - 2}}\,=\,}\)

prosił bym aby był przedstawiony tok rozumowania ponieważ może mi się to przydać

W zadaniach tego typu staram się dopasować liczby do wzoru
\(\displaystyle{ (a+b)^3=a^3+3{a^2}b+3ab^2+b^3}\)
w taki sposób, żeby pozbyć się tego co pod pierwiastkiem
\(\displaystyle{ a^3+3{a^2}b+3ab^2+b^3 = {\sqrt{5}} + 2}}}\)

\(\displaystyle{ a^3+3ab^2={\sqrt{5}}}\) liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna i podniesiona do potęgi nieparzystej dalej jest niewymierna
\(\displaystyle{ 3{a^2}b+b^3=2}\) liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna i podniesiona do potęgi parzystej nie jest już niewymierna, \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą wymierną

podstawmy do wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^3}\) przykładowo \(\displaystyle{ a=\sqrt{5},b=1}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{5}+1)^3=5\sqrt{5}+15+3\sqrt{5}+1=8\sqrt{5}+16}\)
zauważ że, \(\displaystyle{ \frac{1}{8}\cdot({8\sqrt{5}+16)}=\sqrt{5}+2}\)
analogicznie
\(\displaystyle{ (\sqrt{5}-1)^3=5\sqrt{5}-15+3\sqrt{5}+1=8\sqrt{5}-16}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}\cdot({8\sqrt{5}-16)}=\sqrt{5}-2}\)


\(\displaystyle{ \sqrt[3]{{\sqrt{5}} + 2} - {\sqrt[3]{{\sqrt{5}} - 2}}\,= \sqrt[3]{\frac{1}{8}{(\sqrt{5}+1)^3}} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}{(\sqrt{5}-1)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}{(\sqrt{5}+1)}-\frac{1}{2}{(\sqrt{5}-1)}=1}\)

To zadanie w taki sposób rozwiązuję, bo tylko tak potrafię. Może są lepsze metody...
Pozdrawiam

może zna ktoś łatwiejsze rozwiązanie bo to troszku trudne jest do zapamiętania
a na pewno kiedys jeszcze mi sie tego typu działanie mrzytafi

dla porównania zadanie https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=43931
spróbuj rozwiązać analogicznie do tamtego zadania