mniejsze czy większe

[Marus0]

Dzień dobry Państwu,

Byłbym niezmiernie wdzięczny, jeśli ktoś z Was wyjaśniłby mi (jak debilowi najlepiej) dlaczego:
\(\displaystyle{ \frac{3-2a}{a ^{2} } \ge 0}\)
mając dany układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x \ge 0 \\ x> \frac{3-2a}{a ^{2} }\end{cases}}\)
Za pomocą programu do rysowania wykresów przekonałem się, że pierwsze różnanie jest prawdziwe, ale jak to u mnie bywa nie potrafię tego uzasadnić, ani wyprowadzić matematycznie.

Przepraszam za stracony czas i błąd w LaTeXie, pozdrawiam

[a4karo]

??

[Dilectus]

Marus0, sformułuj, proszę, problem jeszcze raz, bo temu, co napisałeś, daleko jest do sensowności...

[Marus0]

Zadanie. Dla jakich parametrów a nierówność \(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\) nie ma rozwiązań ujemnych?

To zadanie od matemaksa [ciach] czas: 17:15. Chodzi mi o ten krok, podany w tym czasie. Jak wygląda proces myślowy, który skłonił go do takiego, a nie odwrotnego zapisania znaku nierówności?

[Dilectus]

Policzmy:

\(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\)

\(\displaystyle{ a ^{2}x+2a-3>0}\)

\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\)

Rozwiązanie ma być dodatnie, zatem

\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2a-3}{a^2}<0}\)

Mianownik jest zawsze dodatni. Żeby ułamek o dodatnim mianowniku był mniejszy od zera, to jego licznik musi być jaki?

-- 28 gru 2018, o 13:20 --Marus0, najpierw rozwiązałem nierówność, którą podałeś, a dopiero potem obejrzałem film, z którego wynika, że chodzi o umiejętność rozwiązywania nierówności wymiernych. Masz tę umiejętność? Znasz metodę wężykową?

[Marus0]

Znam metodę wężykową.
Ale nadal nie rozumiem.
Przeprowadzę cię przez swój proces myślowy:
Rozwiązanie to x, czyli x musi być większe lub równe 0. Z równania wynika, że \(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\). Jak ma się do siebie to, że owo wyrażenie jest mniejsze (lub równe, nieistotne) od x do tego, że ten x jest większy lub równy od 0? Ta "dodatniość" x musi być większa od dodatniości lub może ujemności prawej strony nierówności.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)

Mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ -1}\), żeby się pozbyć minusa przed ułamkiem, a więc musisz zmienić znak tej nierówności na przeciwny

\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad | \cdot (-1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{2a-3}{a^2}<0}\)

Stąd ta równoważność:

\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2a-3}{a^2}<0}\)

-- 28 gru 2018, o 17:45 --

Musisz zapamiętać, że mnożenie nierówności przez liczbę mniejszą od zera zmienia znak tej nierówności.
Mnemotechnika może być taka: weź dwie różne liczby (np. 2 i 5) i napisz właściwą nierówność, która je wiąże:

\(\displaystyle{ 2<5}\)

teraz pomnóż tę nierówność przez minus jeden i zobaczysz, że to spowoduje zmianę znaku:

\(\displaystyle{ -2>-5}\)

[Marus0]

To rozumiem, nie potrafię zrozumieć dlaczego po prostu w miejsce x podstawiono 0.

\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\)

jak się zmieniło w to:

\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)

[Dilectus]

Dla jakich parametrów a nierówność \(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\) nie ma rozwiązań ujemnych?

rozwiązanie tej nierówności polega na wyznaczeniu iksów, które ją spełniają. Jeżeli nie ma ona mieć rozwiązań ujemnych, to znaczy, że wszystkie iksy, które ją spełniają, muszą być dodatnie.

Mamy więc:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x> - \frac{2a-3}{a^2} \\ x>0 \end{cases}}\)

co sprowadza się do nierówności

\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)

[Marus0]

-- 28 gru 2018, o 18:24 --Wyrażenie i x na plusie lub x na plusie wyrażenie na minusie

[Dilectus]

Co chciałeś przez to powiedzieć?

[Marus0]

Według rysunku i równań: \(\displaystyle{ \begin{cases}x> - \frac{2a-3}{a^2} \\ x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) może być większe, i może być też mniejsze od 0. Z układu rownan nie wynika jednoznacznie że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) jest większe od 0.

[Dilectus]

Z układu rownan nie wynika jednoznacznie że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) jest większe od 0.

Wynika, bo oba równania muszą być spełnione jednocześnie. Przeczytaj to co w klamrze tak:

\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2} \quad \text{oraz} \quad x>0}\)

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)

Można to zapisać za pomocą takiej implikacji:

\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2} \quad \wedge \quad x>0 \quad \Rightarrow \quad - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)

[Marus0]

\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2} \quad \text{oraz} \quad x>0}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ 1= - \frac{2a-3}{a^2}}\)

[Dilectus]

No dobra, podstawmy \(\displaystyle{ x=2}\)

\(\displaystyle{ x=2> - \frac{2a-3}{a^2}}\)

\(\displaystyle{ 2> - \frac{2a-3}{a^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2a-3}{a^2}+2>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2a-3+2a^2}{a^2}>0}\)

Ponieważ mianownik jest zawsze dodatni, to żeby ułamek był większy od zera, trzeba, żeby jego licznik był większy od zera. Zatem:

\(\displaystyle{ 2a^2+2a-3>0}\)

Policzny pierwiastki tego trójmianu:

\(\displaystyle{ \Delta=4+24=28}\)

\(\displaystyle{ a_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{4}}\)

\(\displaystyle{ a_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\)

Zatem nierówność jeswt spełniona dla \(\displaystyle{ a \in \left( - \infty , \frac{-2- \sqrt{28} }{4}\right) \cup \left(\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}, \infty \right)}\)

Pamiętajmy jednak, że \(\displaystyle{ a>0}\), więc nierówność będzie spełniona dla \(\displaystyle{ a>\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\)

Czyli dla \(\displaystyle{ x=2}\) \(\displaystyle{ a>\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\) oraz \(\displaystyle{ a<2}\)

Ostatecznie więc dla x=2

\(\displaystyle{ a \in \left(\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}, 2\right)}\)