mniejsze czy większe
mniejsze czy większe
Dzień dobry Państwu,
Byłbym niezmiernie wdzięczny, jeśli ktoś z Was wyjaśniłby mi (jak debilowi najlepiej) dlaczego:
\(\displaystyle{ \frac{3-2a}{a ^{2} } \ge 0}\)
mając dany układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x \ge 0 \\ x> \frac{3-2a}{a ^{2} }\end{cases}}\)
Za pomocą programu do rysowania wykresów przekonałem się, że pierwsze różnanie jest prawdziwe, ale jak to u mnie bywa nie potrafię tego uzasadnić, ani wyprowadzić matematycznie.
Przepraszam za stracony czas i błąd w LaTeXie, pozdrawiam
Byłbym niezmiernie wdzięczny, jeśli ktoś z Was wyjaśniłby mi (jak debilowi najlepiej) dlaczego:
\(\displaystyle{ \frac{3-2a}{a ^{2} } \ge 0}\)
mając dany układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x \ge 0 \\ x> \frac{3-2a}{a ^{2} }\end{cases}}\)
Za pomocą programu do rysowania wykresów przekonałem się, że pierwsze różnanie jest prawdziwe, ale jak to u mnie bywa nie potrafię tego uzasadnić, ani wyprowadzić matematycznie.
Przepraszam za stracony czas i błąd w LaTeXie, pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
mniejsze czy większe
Marus0, sformułuj, proszę, problem jeszcze raz, bo temu, co napisałeś, daleko jest do sensowności...
mniejsze czy większe
Zadanie. Dla jakich parametrów a nierówność \(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\) nie ma rozwiązań ujemnych?
To zadanie od matemaksa [ciach] czas: 17:15. Chodzi mi o ten krok, podany w tym czasie. Jak wygląda proces myślowy, który skłonił go do takiego, a nie odwrotnego zapisania znaku nierówności?
To zadanie od matemaksa [ciach] czas: 17:15. Chodzi mi o ten krok, podany w tym czasie. Jak wygląda proces myślowy, który skłonił go do takiego, a nie odwrotnego zapisania znaku nierówności?
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 22:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Treści zadań przepisujemy, a nie linkujemy filmiki.
Powód: Treści zadań przepisujemy, a nie linkujemy filmiki.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
mniejsze czy większe
Policzmy:
\(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}x+2a-3>0}\)
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
Rozwiązanie ma być dodatnie, zatem
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2a-3}{a^2}<0}\)
Mianownik jest zawsze dodatni. Żeby ułamek o dodatnim mianowniku był mniejszy od zera, to jego licznik musi być jaki?
-- 28 gru 2018, o 13:20 --Marus0, najpierw rozwiązałem nierówność, którą podałeś, a dopiero potem obejrzałem film, z którego wynika, że chodzi o umiejętność rozwiązywania nierówności wymiernych. Masz tę umiejętność? Znasz metodę wężykową?
\(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}x+2a-3>0}\)
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
Rozwiązanie ma być dodatnie, zatem
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2a-3}{a^2}<0}\)
Mianownik jest zawsze dodatni. Żeby ułamek o dodatnim mianowniku był mniejszy od zera, to jego licznik musi być jaki?
-- 28 gru 2018, o 13:20 --Marus0, najpierw rozwiązałem nierówność, którą podałeś, a dopiero potem obejrzałem film, z którego wynika, że chodzi o umiejętność rozwiązywania nierówności wymiernych. Masz tę umiejętność? Znasz metodę wężykową?
mniejsze czy większe
Znam metodę wężykową.
Ale nadal nie rozumiem.
Przeprowadzę cię przez swój proces myślowy:
Rozwiązanie to x, czyli x musi być większe lub równe 0. Z równania wynika, że \(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\). Jak ma się do siebie to, że owo wyrażenie jest mniejsze (lub równe, nieistotne) od x do tego, że ten x jest większy lub równy od 0? Ta "dodatniość" x musi być większa od dodatniości lub może ujemności prawej strony nierówności.
Ale nadal nie rozumiem.
Przeprowadzę cię przez swój proces myślowy:
Rozwiązanie to x, czyli x musi być większe lub równe 0. Z równania wynika, że \(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\). Jak ma się do siebie to, że owo wyrażenie jest mniejsze (lub równe, nieistotne) od x do tego, że ten x jest większy lub równy od 0? Ta "dodatniość" x musi być większa od dodatniości lub może ujemności prawej strony nierówności.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
mniejsze czy większe
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)
Mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ -1}\), żeby się pozbyć minusa przed ułamkiem, a więc musisz zmienić znak tej nierówności na przeciwny
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad | \cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a-3}{a^2}<0}\)
Stąd ta równoważność:
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2a-3}{a^2}<0}\)
-- 28 gru 2018, o 17:45 --
Musisz zapamiętać, że mnożenie nierówności przez liczbę mniejszą od zera zmienia znak tej nierówności.
Mnemotechnika może być taka: weź dwie różne liczby (np. 2 i 5) i napisz właściwą nierówność, która je wiąże:
\(\displaystyle{ 2<5}\)
teraz pomnóż tę nierówność przez minus jeden i zobaczysz, że to spowoduje zmianę znaku:
\(\displaystyle{ -2>-5}\)
Mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ -1}\), żeby się pozbyć minusa przed ułamkiem, a więc musisz zmienić znak tej nierówności na przeciwny
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad | \cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a-3}{a^2}<0}\)
Stąd ta równoważność:
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{2a-3}{a^2}<0}\)
-- 28 gru 2018, o 17:45 --
Musisz zapamiętać, że mnożenie nierówności przez liczbę mniejszą od zera zmienia znak tej nierówności.
Mnemotechnika może być taka: weź dwie różne liczby (np. 2 i 5) i napisz właściwą nierówność, która je wiąże:
\(\displaystyle{ 2<5}\)
teraz pomnóż tę nierówność przez minus jeden i zobaczysz, że to spowoduje zmianę znaku:
\(\displaystyle{ -2>-5}\)
Ostatnio zmieniony 28 gru 2018, o 16:46 przez Dilectus, łącznie zmieniany 1 raz.
mniejsze czy większe
To rozumiem, nie potrafię zrozumieć dlaczego po prostu w miejsce x podstawiono 0.
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
jak się zmieniło w to:
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
jak się zmieniło w to:
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
mniejsze czy większe
rozwiązanie tej nierówności polega na wyznaczeniu iksów, które ją spełniają. Jeżeli nie ma ona mieć rozwiązań ujemnych, to znaczy, że wszystkie iksy, które ją spełniają, muszą być dodatnie.Marus0 pisze:Dla jakich parametrów a nierówność \(\displaystyle{ a ^{2}x+2a>3}\) nie ma rozwiązań ujemnych?
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x> - \frac{2a-3}{a^2} \\ x>0 \end{cases}}\)
co sprowadza się do nierówności
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)
mniejsze czy większe
-- 28 gru 2018, o 18:24 --Wyrażenie i x na plusie lub x na plusie wyrażenie na minusie
mniejsze czy większe
Według rysunku i równań: \(\displaystyle{ \begin{cases}x> - \frac{2a-3}{a^2} \\ x>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) może być większe, i może być też mniejsze od 0. Z układu rownan nie wynika jednoznacznie że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) jest większe od 0.
\(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) może być większe, i może być też mniejsze od 0. Z układu rownan nie wynika jednoznacznie że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) jest większe od 0.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
mniejsze czy większe
Wynika, bo oba równania muszą być spełnione jednocześnie. Przeczytaj to co w klamrze tak:Marus0 pisze:Z układu rownan nie wynika jednoznacznie że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}}\) jest większe od 0.
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2} \quad \text{oraz} \quad x>0}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)
Można to zapisać za pomocą takiej implikacji:
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2} \quad \wedge \quad x>0 \quad \Rightarrow \quad - \frac{2a-3}{a^2}>0}\)
mniejsze czy większe
\(\displaystyle{ x> - \frac{2a-3}{a^2} \quad \text{oraz} \quad x>0}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ 1= - \frac{2a-3}{a^2}}\)
Podstawmy: \(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ 1= - \frac{2a-3}{a^2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
mniejsze czy większe
No dobra, podstawmy \(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ x=2> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
\(\displaystyle{ 2> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a-3}{a^2}+2>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a-3+2a^2}{a^2}>0}\)
Ponieważ mianownik jest zawsze dodatni, to żeby ułamek był większy od zera, trzeba, żeby jego licznik był większy od zera. Zatem:
\(\displaystyle{ 2a^2+2a-3>0}\)
Policzny pierwiastki tego trójmianu:
\(\displaystyle{ \Delta=4+24=28}\)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{4}}\)
\(\displaystyle{ a_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\)
Zatem nierówność jeswt spełniona dla \(\displaystyle{ a \in \left( - \infty , \frac{-2- \sqrt{28} }{4}\right) \cup \left(\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}, \infty \right)}\)
Pamiętajmy jednak, że \(\displaystyle{ a>0}\), więc nierówność będzie spełniona dla \(\displaystyle{ a>\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ x=2}\) \(\displaystyle{ a>\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\) oraz \(\displaystyle{ a<2}\)
Ostatecznie więc dla x=2
\(\displaystyle{ a \in \left(\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}, 2\right)}\)
\(\displaystyle{ x=2> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
\(\displaystyle{ 2> - \frac{2a-3}{a^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a-3}{a^2}+2>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2a-3+2a^2}{a^2}>0}\)
Ponieważ mianownik jest zawsze dodatni, to żeby ułamek był większy od zera, trzeba, żeby jego licznik był większy od zera. Zatem:
\(\displaystyle{ 2a^2+2a-3>0}\)
Policzny pierwiastki tego trójmianu:
\(\displaystyle{ \Delta=4+24=28}\)
\(\displaystyle{ a_1= \frac{-2- \sqrt{28} }{4}}\)
\(\displaystyle{ a_2= \frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\)
Zatem nierówność jeswt spełniona dla \(\displaystyle{ a \in \left( - \infty , \frac{-2- \sqrt{28} }{4}\right) \cup \left(\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}, \infty \right)}\)
Pamiętajmy jednak, że \(\displaystyle{ a>0}\), więc nierówność będzie spełniona dla \(\displaystyle{ a>\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ x=2}\) \(\displaystyle{ a>\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}}\) oraz \(\displaystyle{ a<2}\)
Ostatecznie więc dla x=2
\(\displaystyle{ a \in \left(\frac{-2+ \sqrt{28} }{4}, 2\right)}\)