Matematyka.pl

1) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami nieujemnymi, to \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{a*b}}\).

2)Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 qslant ab+ac+bc}\).

3) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ 0 qslant xy+yz+zx}\).

1)

\(\displaystyle{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0}\)
\(\displaystyle{ a - 2\sqrt{ab} + b q 0}\)
\(\displaystyle{ a+b q 2\sqrt{ab}}\)

1) spójrz do kompendium 2+2 ---> Nierówności pomiędzy średnimi

2)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a-b)^{2} q 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(b-c)^{2} q 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(c-a)^{2} q 0}\)
jak zsumujesz dostaniesz tezę zadania

3)

\(\displaystyle{ 0 = (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 +2xy +2yz +2zx q 2xy+2yz+2zx}\), po podzieleniu przez 2 dostajemy teze.

Wielkie podziękowania dla całej 3.

Matematyka.pl

3 dowody

3 dowody

3 dowody

3 dowody

3 dowody

3 dowody