Wyłuskanie z pierwiastka

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać to równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}} \left( \sqrt{ \left( 1+x \right) ^3} - \sqrt{ \left( 1-x \right) ^3} \right) = 2+ \sqrt{1-x^2}}\)

[Tulio]

\(\displaystyle{ x \in \left[ -1, 1\right]}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}} \left( \sqrt{ \left( 1+x \right) ^3} - \sqrt{ \left( 1-x \right) ^3} \right) = 2+ \sqrt{1-x^2} |:\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}}}\)

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{ \left( 1+x \right) ^3} - \sqrt{ \left( 1-x \right) ^3} \right) = \frac{2+ \sqrt{1-x^2} }{\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}}} | {\left( \right) }^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+x\right) ^{3} -2 \sqrt{\left( 1+x\right) ^{3} \left( 1-x\right) ^{3} } + \left( 1-x\right) ^{3} = \frac{4+4 \sqrt{1-x^{2}} +1-x^{2}}{1+ \sqrt{1-x^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ 6x^{2}+2 -2 \sqrt{\left( 1+x\right) ^{3} \left( 1-x\right) ^{3} } = \frac{4+4 \sqrt{1-x^{2}} +1-x^{2}}{1+ \sqrt{1-x^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ 6x^{2}+2 -2 \sqrt{\left( 1-x^{2}\right) ^{3}} = \frac{4+4 \sqrt{1-x^{2}} +1-x^{2}}{1+ \sqrt{1-x^{2}} }}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^{2}}}\), \(\displaystyle{ t \in \left[ 0, 1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ 6x^2+2=8-6t^{2}}\)

\(\displaystyle{ 8-6t^{2}-2t^3= \frac{4+4t+t^{2}}{1+t}}\)

\(\displaystyle{ -2\left( t-1\right) \left( t+2\right) ^{2} = \frac{ \left( t+2\right) ^{2} }{1+t}}\)

Jako, że \(\displaystyle{ t \in \left[ 0, 1\right]}\) więc możemy podzielić przez \(\displaystyle{ \left( t+2\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ -2\left( t-1\right) = \frac{1}{1+t}}\)

\(\displaystyle{ -2\left( t^{2}-1\right) = 1}\)

\(\displaystyle{ t = -\frac{1}{ \sqrt{2} } \vee t = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)

Pierwsze odpada więc mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2} = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ 1-x^{2} = \frac{1}{2 }}\)

\(\displaystyle{ x = -\frac{1}{ \sqrt{2} } \vee x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x \in \left[ 1, -1\right]}\)

Dość zaskakujące...

JK

[Tulio]

\(\displaystyle{ x \in \left[ 1, -1\right]}\)

Dość zaskakujące...

JK

Czemu? Jeżeli rozważam liczby rzeczywiste to dla \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2}}\) musi być \(\displaystyle{ 1-x^{2} \ge 0}\) stąd wychodzi \(\displaystyle{ x \in \left[ -1, 1\right]}\)

a dobra... nie pytałem

\(\displaystyle{ x \in \left[ -1, 1\right]}\)

[Premislav]

Oj, to akurat szczegół, litrówki zdarzjają się każdemu. [to celowe]
Tulio, w Twoim rozwiązaniu jest jakiś drobny błąd, gdyż łatwo sprawdzić, że prawa strona równania to funkcja parzysta, zaś lewa jest funkcją nieparzystą, więc równość nie może zajść jednocześnie dla \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt{2}}}\), jak i dla \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\), chyba że te wartości zerowałyby obie strony (acz tak nie jest, gdyż od razu widać, że nie zerują \(\displaystyle{ 2+\sqrt{1-x^2}}\)).

Mam taką propozycję: oczywiście jak już wskazał Tulio, \(\displaystyle{ \ x\in [-1,1]}\).
Ponadto łatwo pokazać, że gdy \(\displaystyle{ x}\) jest ujemny, to prawa strona jest dodatnia, a lewa nie.
Czyli możemy się ograniczyć do \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\). Połóżmy
\(\displaystyle{ x=\sin t, \ t\in\left[ 0, \frac \pi 2\right]}\). Po skorzystaniu ze wzoru na różnicę sześcianów i z jedynki trygonometrycznej równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\cos t}\left(\sqrt{1+\sin t}-\sqrt{1-\sin t} \right)\left(2+\cos t \right)=2+\cos t}\)
Dalej łatwo.

[Tulio]

Faktycznie rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\). Gdzieś pewnie jakiegoś założenia nie zrobiłem, ale można po prostu sprawdzić rozwiązania wstawiając do wyjściowego równania.

[Premislav]

Po prostu skoro podstawiasz \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^{2}}}\), to \(\displaystyle{ t}\) powinno być nieujemne, reszta jak najbardziej OK (choć można to troszkę krócej rozwiązać, jak zaproponowałem).

[Tulio]

Po prostu skoro podstawiasz \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^{2}}}\), to \(\displaystyle{ t}\) powinno być nieujemne, reszta jak najbardziej OK (choć można to troszkę krócej rozwiązać, jak zaproponowałem).

Ale to zaznaczyłem i wziąłem pod uwagę:

Jako, że \(\displaystyle{ t \in \left[ 0, 1\right]}\) więc możemy podzielić przez \(\displaystyle{ \left( t+2\right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ -2\left( t-1\right) = \frac{1}{1+t}}\)

\(\displaystyle{ -2\left( t^{2}-1\right) = 1}\)

\(\displaystyle{ t = -\frac{1}{ \sqrt{2} } \vee t = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)

Pierwsze odpada więc mamy:

[Premislav]

A, faktycznie, sorry, nie umiem czytać, pomyłka (łatwa do naprawienia) jest tu:

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{ \left( 1+x \right) ^3} - \sqrt{ \left( 1-x \right) ^3} \right) = \frac{2+ \sqrt{1-x^2} }{\sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}}} | {\left( \right) }^{2}}\)

To nie jest przekształcenie równoważne. Gdyby najpierw sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ x}\) lewa strona jest nieujemna (bo prawa oczywiście zawsze jest nieujemna), to już byłoby bez zarzutu.

Akurat podstawiania do wyjściowego równania w tym przypadku nie polecam (choć oczywiście można), gdyż namnożenie pierwiastków i potęg może doprowadzić do błędów rachunkowych (ale może jestem przewrażliwiony, bo nie umiem dobrze liczyć).

[Tulio]

Zgadza się. (w sensie to, że byłoby bez zarzutu - nie to, że twierdzisz, iż nie umiesz liczyć )