Algebraiczne rozwiązanie prostego układu nierówności

[qua]

Algebraicznie rozwiąż podany układ nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} p<14 \\ q-7p+49>0 \end{cases}}\)

gdy liczby \(\displaystyle{ q,p \in \NN}\)?

Pozdrawiam serdecznie!

[kmarciniak1]

Przekształć ta drugą nierówność żeby po jednej stronie było tylko \(\displaystyle{ p}\)

[qua]

\(\displaystyle{ p<14}\)

\(\displaystyle{ p<\frac{q}{7} - 7}\)

Teraz chcesz przyrównać \(\displaystyle{ 14}\) i \(\displaystyle{ \frac{q}{7} - 7}\)?

[kmarciniak1]

wyjdzie z plusem \(\displaystyle{ p<\frac{q}{7} + 7}\)

Choć teraz doszedłem do wniosku, że to niepotrzebne xD

Widzę, że to bardzo luźne warunki i dla dowolnego \(\displaystyle{ p}\) masz nieskończenie wiele rozwiązań. Po prostu trzeba sprawdzić te \(\displaystyle{ 14}\) możliwych wartości \(\displaystyle{ p}\) .

Dla przykładu gdy \(\displaystyle{ p=2}\) to wszystkie naturalne \(\displaystyle{ q}\) spełniają.


Podobnie zrób pozostałe.

[janusz47]

Zbiór rozwiązań układu nierówności jest wypukłą kombinacją liniową jego rozwiązań bazowych.

Dodajemy dwie zmienne \(\displaystyle{ r, -s , \ \ r, s \geq 0}\) odpowiednio do pierwszej i drugiej nierówności, zamieniając układ nierówności na układ równości.

Znajdujemy wszystkie rozwiązania bazowe tego układu.

Eliminujemy zmienne swobodne, redukując układ do przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2.}\)

Zapisujemy powłokę wypukłą zbioru jego wierzchołków.

[qua]

janusz47 a dałoby się prościej ?

Niewiele z tego rozumiem...

[Rafsaf]

kmarciniak1 dał Ci bardzo dobrą wskazówkę jak to rozwiązać, chodzi o osobne rozważanie dla \(\displaystyle{ p}\) po kolei od \(\displaystyle{ 0}\)(no chyba że dla Ciebie naturalne są od \(\displaystyle{ 1}\), to już umowa) do \(\displaystyle{ 13}\) i podał przykład dla \(\displaystyle{ p=2}\)

Natomiast janusz47 totalnie przesadził strasząc kosmicznym rozwiązaniem zadania na poziomie liceum.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} p+r = 14\\ 7p -q +s = 49 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&0&14 \\7&-1&0&1&49 \end{bmatrix} \ \ (1)}\)

Poszukujemy wszystkich rozwiązań bazowych układu (1).

W tym celu znajdujemy jego rozwiązanie ogólne

Do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez \(\displaystyle{ -7.}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&0&14 \\0&-1&-7&1&-49 \end{bmatrix}}\)

Mnożymy wiersz drugi przez \(\displaystyle{ -1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&0&14 \\0&1&7&-1&49 \end{bmatrix}}\)

Rozwiązanie ogólne układu

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}p\\q\\r\\s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}14 -r\\49-7r+s\\r\\s \end{bmatrix}}\)

Rozwiązania bazowe:

\(\displaystyle{ x_{1}= \begin{bmatrix}14\\49\\0\\0 \end{bmatrix}, \ \ x_{2}= \begin{bmatrix}14\\0\\0\\-49\end{bmatrix}, \ \ x_{3}= \begin{bmatrix}0\\-49\\14\\0 \end{bmatrix}, \ \ x_{4}=\begin{bmatrix}0\\0\\14\\49\end{bmatrix} \ \ x_{5}=\begin{bmatrix}7\\0\\7\\0\end{bmatrix}}\)

Bierzemy pod uwagę tylko rozwiązania nieujemne o zerowych zmiennych swobodnych:

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wypukły:

\(\displaystyle{ \textbf x= \{(7\alpha+14\beta, \ \ 49\gamma): \ \ \alpha+\beta+\gamma \leq 1\}.}\)

[Jan Kraszewski]

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wypukły:

\(\displaystyle{ \textbf x= \{(7\alpha+14\beta, \ \ 49\gamma): \ \ \alpha+\beta+\gamma \leq 1\}.}\)

Ty tak serio? A przeczytałeś uważnie treść zadania:

gdy liczby \(\displaystyle{ q,p \in \NN}\)?

?

JK

[janusz47]

W takim razie, jeżeli \(\displaystyle{ p, q \in \NN}\) - w układzie współrzędnych prostokątnych wyznaczamy zbiór określony nierównościami:

\(\displaystyle{ \{ (p,q) \} = \{(p,q): p<14 \ \ \wedge \ \ q>7p -49, \ \ p, q \in \NN \}\ \ (1)}\)

Zbiór rozwiązań w liczbach naturalnych układu nierówności \(\displaystyle{ (1)}\) będzie zawierał wszystkie punkty \(\displaystyle{ (p,q) , \ \ p, q\in \NN}\) , wewnętrzne wielokąta wypukłego o wierzchołkach:

\(\displaystyle{ (0,0),\ \ (7,0), \ \ (14,49).}\)

Takich punktów jest nieskończenie wiele.

Są to punkty o współrzędnych:

\(\displaystyle{ (1,q), (2, q),..., (7, q ), (8, q),..., (13, q),}\) gdzie współrzędna \(\displaystyle{ q}\) spełnia nierówność \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ q \in \NN.}\)