Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

Post autor: Makoszet » 19 lis 2018, o 15:53

Dzień dobry,

Treść polecenia: Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^{2}}= x^{2}-x}\)

Prawą stronę przerzuciłem na lewo i sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i doszedłem do sytuacji, że mam:

\(\displaystyle{ 1- x^{2}-x^{4}+x+x^{3}=0}\)

Pomógłby mi ktoś z dokończeniem tego zadania?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Re: Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

Post autor: yorgin » 19 lis 2018, o 16:51

Dwa pierwiastki.

Ponieważ zadanie polega na wskazaniu liczby pierwiastków, skoncentruj się na tym, że jeżeli

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1+x^2}, g(x)=x^2-x}\),

to

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\pm \infty}f(x)=0, f(0)=1, f(x)\geq 0}\)

oraz

\(\displaystyle{ g(0.5)=-0.25}\) i \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\pm\infty} g(x)=+\infty}\).

Teraz można podciągnąć to pod zasadę Darboux i wywnioskować istnienie dwóch pierwiastków.

Rozwiązanie algebraiczne raczej nie wchodzi w grę.

Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

Post autor: Makoszet » 19 lis 2018, o 17:08

Nie mam zielonego pojęcia o czym Pan pisze, ale dziękuję za pomoc.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Re: Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

Post autor: yorgin » 19 lis 2018, o 17:21

Na jakim poziomie i z jakiego przedmiotu pochodzi to zadanie?

Jakie są dostępne narzędzia?

Od czegoś trzeba zacząć, a wiek (22 lata) sugeruje poziom akademicki...

Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

Post autor: Makoszet » 19 lis 2018, o 17:55

Poziom studencki, przedmiot: Podstawy Matematyki Wyższej.

Co do narzędzi to nie było nic mówione o żadnych ograniczeniach.
Jedyne ograniczenia w tym momencie to moja wiedza, jest kosmiczny przeskok między tym czego uczyłem się do matury podstawowej a tym co mamy tutaj.

Wziąłem się właśnie za czytanie o tych granicach, o których Pan napisał.

ODPOWIEDZ