Udowodnij nierówność

[impress2s]

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^{2} + b^2 + c^2 qslant ab+ac+bc}\)

proszę o rozwiązanie

[Piotr Rutkowski]

W rozwiązaniu możemy się bez problemu ograniczyć do liczb rzeczywistych dodatnich (w skrócie, jesli jakieś będą ujemne, to z pewnością \(\displaystyle{ a_{0},b_{0},c_{0} R \\ a_{0}b_{0}+b_{0}c_{0}+c_{0}a_{0}\leq (-a_{0})(-b_{0})+(-b_{0})(-c_{0})+(-c_{0})(-a_{0})}\), gdzie minus stawiamy przy liczbach ujemnych. )
Skoro rozważamy dla liczb rzeczywistych dodatnich to można zastosować ciągi jednomonotoniczne, czyli:
\(\displaystyle{ a\geq b\geq c \\ a*a+b*b+c*c\geq a*b+b*c+c*a}\), co daje nam nierówność zadania

[*Kasia]

Można jeszcze inaczej i, moim zdaniem, trochę łatwiej.
\(\displaystyle{ (a-b)^2+(b-c)^3+(c-a)^2\geq 0}\), po prostych przekształceniach (wymnożenie, podzielenie przez 2 i poprzenoszenie na odpowiednie strony) otrzymujemy daną nierówność.

[raimi]

a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} qslant ab+ac+bc //mnożymy obustronnie przez 2 i przenosimy wyrażenie (ab+ab+bc) na lewą stronę)

2a ^{2}+2b ^{2}+2c ^{2}-2ab-2ac-2bc qslant 0

//segregujemy wyrażenia

a ^{2}-2ab+b ^{2}+a ^{2}-2ac+c ^{2} + b ^{2} -2ac+ c ^{2} qslant 0

//i tu mamy wzory skróconego mnożenia

(a-b) ^{2}+(a-c) ^{2}+(b-c) ^{2} qslant 0

//sumy kwadratów liczb są zawsze nieujemne