Nierówność z 2 warunkami

[ivni]

Niech nieujemne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,x,y}\) spełniają nierówności
\(\displaystyle{ a^{5}+b^{5} \le 1}\)
\(\displaystyle{ x^{5}+y^{5} \le 1}\)
Dowieść, że
\(\displaystyle{ a^{2}x^{3}+b^{2}y^{3} \le 1}\)-- 1 paź 2018, o 20:04 --Dziękuję bardzo.

[Zahion]

\(\displaystyle{ 5 \ge 2\left( a^{5}+b^{5}\right) + 3\left( x^{5}+y^{5}\right) = \left( a^{5} + a^{5} + x^{5} + x^{5} + x^{5} \right) + \left( b^{5} + b^{5} + y^{5} + y^{5} + y^{5} \right) \ge 5\left( a^{2}x^{3} + b^{2}y^{3}\right)}\)

[octahedron]

A skąd wynika ostatnia nierówność?

[Premislav]

Z dwukrotnego zastosowania nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
w dodatnich mamy
\(\displaystyle{ \frac{a^5+a^5+x^5+x^5+x^5}{5}\ge \sqrt[5]{(a^5)^2(x^5)^3} =a^2x^3}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{b^{5} + b^{5} + y^{5} + y^{5} + y^{5}}{5}\ge\sqrt[5]{(b^5)^2(y^5)^3}=b^2y^3}\)